5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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Si la suite obtenue s'arrête à l'élément neutre { e }, elle constitue une suite de composition.
Mais on a:
f;/ C+1 � Z(G/ C+1 )
En effet, l'exercice 5. 1.14 prouve que cela équivaut à [f;, G] � C+1 ce qui est vrai. Il s'agit
bien d'une suite centrale, et le groupe G est nilpotent. Réciproquement, donnons-nous une
série centrale que nous numérotons en décroissant pour faciliter la comparaison :
{e } = H,, � H,,_ 1 � ... �H o= G
Montrons qu'alors f; � H;. C'est vrai pour O et faisons l'hypothèse que f; � H;. Comme la
suite (H;) est centrale, H;/H; + 1 � Z(G/H; + 1 ) ce qui équivaut à [H;, G] � H; + l · On a donc:
f; +1 = [f;, G] � [H;, G] � H; +1
On en déduit que la suite (f ;) s'achève en { e}. De façon intuitive, la suite (f;) est la suite
centrale qui décroît le plus rapidement, tandis que la suite (Z;) est la suite centrale qui croît
le plus rapidement.
5.3.4 Soit H � G. Alors f 1 (H) = [H, H] � f 1 (G), et, par récurrence, on a aussi
f;(H) = [f;_ 1 (H),H ] � [f; -
1 (G),G ]
Si donc la suite des f ;(G) stationne en e, il en va de même pour la suite des f;(H).
Supposons maintenant H normal dans G, et soit (G;) une suite décroissante centrale. La suite
image par la projection de G sur G /H est (G;H/H). Mais on a
[G;H/H,G/H ] = [G;,G ]H/H � G; - 1 8/H
car un commutateur [xH , yH] peut s'écrire [x , y]H. D'après l'exercice 5. 1.14, la suite obtenue
est donc centrale, et le groupe quotient est nilpotent.
Soient G et K deux groupes nilpotents, de suites centrales respectives (G;) et (K j ). En insérant éventuellement des répétitions dans la suite la plus courte (ce qui ne change pas le fait
d'être centrale), on dispose de deux suites de même longueur, et (G; x K; ) est une suite de
composition de G x K (cf. 2. 1.10). De plus,
[G; x K; ,G x K] = [G;,G ] x [K;,K ] � G; - 1 x K; -
1
ce qui assure qu'il s'agit d'une suite centrale.
5.3.5 On va construire une suite de composition pour TU(n, K). Soit en effet TU
"'
(n, K) le
sous-groupe de TU(n, K) formé des matrices dont les éléments vérifient :
a;j = 0 pour tous les couples i,j tels que O < j - i < m
les éléments diagonaux restant égaux à 1. On montre par récurrence que chacun de ces
groupes est normal dans le précédent en considérant le morphisme :
TU
"'
(n, K) ---+ K EB K EB ... EB K
M
1-+
( m1,m+I , m2 ,111+2 , ... , m11-m,11 )
On vérifie en effet aisément que c'est un morphisme, dont le noyau est TU
111+ 1
(n, K). Il en
résulte une suite de composition
TV(n, K) = TU 1 (n, K) � TU
2
(n, K) � ... � TU"(n, K) = { e}
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