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Théorie des groupes
3) Montrer que, dans une suite de composition d'un groupe polycyclique, le nombre des
facteurs monogènes infinis est constant.
4) Montrer que si G est un groupe polycyclique qui admet une suite de composition cyclique
de longueur n, alors il est engendré par n éléments.
Les groupes polycycliques sont très étudiés et utilisés car on peut standardiser leur présentation. Il est également possible pour ces groupes de généraliser les théorèmes de
Sylow ; si G est un groupe résoluble fini de cardinal n = kk' avec k et k' premiers entre
eux, alors il existe au moins un sous-groupe de G d'ordre k. De tels sous-groupes s'appellent des sous-groupes de Hall et jouissent de propriétés analogues aux sous-groupes
de Sylow.
SOLUTIONS
5.3.1 En ce qui concerne les groupes commutatifs, il n'y a rien à faire. La suite de composition { e} � G convient. Pour un p-groupe G, on utilise le fait que le centre est non trivial,
voir 3. 1.15, et l'on raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. On a donc:
{e} � Z(G) � G
et le rapport Z(G)/{e} est bien dans le centre de G/ {e}. Par ailleurs, G/Z(G) est un pgroupe d'ordre strictement plus petit que l'ordre de G. On peut lui appliquer l'hypothèse
de récurrence. On dispose donc d'une suite centrale pour le groupe G/Z(G). Cette suite
se relève en une suite entre Z(G) et G, et par le troisième théorème d'isomorphisme, ce
relèvement est encore central.
5. 3. 2 Cette suite est croissante car, par le théorème de correspondance, le centre de G / Z;
peut se mettre sous la forme Z;+1/Z; où Z;+1 vérifie Z; � Z;+1 � G. Remarquons bien sûr
que Z 1 est le centre de G. S'il existe n tel que Z,, = G, alors
{ e} � Z 1 � ••• � Z,, = G
est une suite centrale et G est nilpotent. La définition d'une suite centrale est vérifiée avec= à
la place de �- Réciproquement, supposons G nilpotent, soit (H;) une suite centrale. Montrons
que H; � Z;. C'est vrai pour i = 0 et même pour i = 1 puisque la suite est centrale:
H1 = H i f{e } � Z(G/{e}) = Z(G) = Z1
Raisonnons ensuite par récurrence. Si l'on suppose H; � Z;, soit x E H;+i, alors xH; commute avec tous les gH;, soit [x, g] E H;, mais alors [x, g] E Z;, ce qui prouve que x E Z;+i,
et l'on a bien H; +1 � Z; + I · On peut maintenant achever le raisonnement. Si la suite (H;) est
centrale, il existe n tel que H,, = G et alors Z,, = G.
5.3.3 Montrons que cette suite est bien une suite décroissante formée de sous-groupes normaux dans G. À l'étape 1, f1 = [G, G] est le groupe dérivé G' , dont on sait qu'il est normal
dans G. Supposons f;
Théorie des groupes
3) Montrer que, dans une suite de composition d'un groupe polycyclique, le nombre des
facteurs monogènes infinis est constant.
4) Montrer que si G est un groupe polycyclique qui admet une suite de composition cyclique
de longueur n, alors il est engendré par n éléments.
Les groupes polycycliques sont très étudiés et utilisés car on peut standardiser leur présentation. Il est également possible pour ces groupes de généraliser les théorèmes de
Sylow ; si G est un groupe résoluble fini de cardinal n = kk' avec k et k' premiers entre
eux, alors il existe au moins un sous-groupe de G d'ordre k. De tels sous-groupes s'appellent des sous-groupes de Hall et jouissent de propriétés analogues aux sous-groupes
de Sylow.
SOLUTIONS
5.3.1 En ce qui concerne les groupes commutatifs, il n'y a rien à faire. La suite de composition { e} � G convient. Pour un p-groupe G, on utilise le fait que le centre est non trivial,
voir 3. 1.15, et l'on raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. On a donc:
{e} � Z(G) � G
et le rapport Z(G)/{e} est bien dans le centre de G/ {e}. Par ailleurs, G/Z(G) est un pgroupe d'ordre strictement plus petit que l'ordre de G. On peut lui appliquer l'hypothèse
de récurrence. On dispose donc d'une suite centrale pour le groupe G/Z(G). Cette suite
se relève en une suite entre Z(G) et G, et par le troisième théorème d'isomorphisme, ce
relèvement est encore central.
5. 3. 2 Cette suite est croissante car, par le théorème de correspondance, le centre de G / Z;
peut se mettre sous la forme Z;+1/Z; où Z;+1 vérifie Z; � Z;+1 � G. Remarquons bien sûr
que Z 1 est le centre de G. S'il existe n tel que Z,, = G, alors
{ e} � Z 1 � ••• � Z,, = G
est une suite centrale et G est nilpotent. La définition d'une suite centrale est vérifiée avec= à
la place de �- Réciproquement, supposons G nilpotent, soit (H;) une suite centrale. Montrons
que H; � Z;. C'est vrai pour i = 0 et même pour i = 1 puisque la suite est centrale:
H1 = H i f{e } � Z(G/{e}) = Z(G) = Z1
Raisonnons ensuite par récurrence. Si l'on suppose H; � Z;, soit x E H;+i, alors xH; commute avec tous les gH;, soit [x, g] E H;, mais alors [x, g] E Z;, ce qui prouve que x E Z;+i,
et l'on a bien H; +1 � Z; + I · On peut maintenant achever le raisonnement. Si la suite (H;) est
centrale, il existe n tel que H,, = G et alors Z,, = G.
5.3.3 Montrons que cette suite est bien une suite décroissante formée de sous-groupes normaux dans G. À l'étape 1, f1 = [G, G] est le groupe dérivé G' , dont on sait qu'il est normal
dans G. Supposons f;