5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
Exercice 5.3.9
On note (GC i l) la suite des groupes définie par :
G(O) = G,
153
C'est donc la suite des groupes dérivés successifs du groupe G. On l'appelle suite dérivée
du groupe G. Montrer que cette suite est décroissante et que G est résoluble ssi il existe n tel
que G M = {e }.
Démontrons des propriétés générales qui montrent que la propriété de résolubilité est
très partagée; on peut voir, par ailleurs, qu'il n'y a qu'un seul groupe non résoluble de
cardinal inférieur à 100, que tout groupe d'ordre impair est résoluble ... Mais ce dernier
résultat est l'aboutissemement d'une très longue démonstration (Feit et Thompson).
Exercice 5.3.10
Montrer que si G est résoluble et si H est un sous-groupe de G, alors H est résoluble. Si H
est normal dans G résoluble, montrer que G /H est aussi résoluble.
Exercice 5.3.11
Montrer que si l'on a une suite exacte
o-N�G�H-o
où N et H sont résolubles, alors G est aussi résoluble. En déduire que le produit direct ou
un produit semi-direct de groupes résolubles est résoluble. A-t-on la même propriété pour les
groupes nilpotents ?
Parmi les groupes linéaires, en voici deux qui sont résolubles.
Exercice 5.3.12
1) Vérifier que GL (2, IF 2 ) est résoluble.
2) Montrer également que GL (2, IF 3 ) est résoluble. On pourra construire une suite de composition.
Regardons encore un exemple de suite de composition particulière. On dit qu'un groupe
est polycyclique s'il admet une suite de composition dont tous les facteurs sont cycliques.
Exercice 5.3.13
1) Donner des exemples de groupes polycycliques, et montrer que pour un groupe fini, polycyclique et résoluble sont synonymes.
2) Montrer qu'un sous-groupe d'un groupe polycyclique est polycyclique, qu'un quotient de
groupes polycycliques est polycyclique.
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Exercice 5.3.9
On note (GC i l) la suite des groupes définie par :
G(O) = G,
153
C'est donc la suite des groupes dérivés successifs du groupe G. On l'appelle suite dérivée
du groupe G. Montrer que cette suite est décroissante et que G est résoluble ssi il existe n tel
que G M = {e }.
Démontrons des propriétés générales qui montrent que la propriété de résolubilité est
très partagée; on peut voir, par ailleurs, qu'il n'y a qu'un seul groupe non résoluble de
cardinal inférieur à 100, que tout groupe d'ordre impair est résoluble ... Mais ce dernier
résultat est l'aboutissemement d'une très longue démonstration (Feit et Thompson).
Exercice 5.3.10
Montrer que si G est résoluble et si H est un sous-groupe de G, alors H est résoluble. Si H
est normal dans G résoluble, montrer que G /H est aussi résoluble.
Exercice 5.3.11
Montrer que si l'on a une suite exacte
o-N�G�H-o
où N et H sont résolubles, alors G est aussi résoluble. En déduire que le produit direct ou
un produit semi-direct de groupes résolubles est résoluble. A-t-on la même propriété pour les
groupes nilpotents ?
Parmi les groupes linéaires, en voici deux qui sont résolubles.
Exercice 5.3.12
1) Vérifier que GL (2, IF 2 ) est résoluble.
2) Montrer également que GL (2, IF 3 ) est résoluble. On pourra construire une suite de composition.
Regardons encore un exemple de suite de composition particulière. On dit qu'un groupe
est polycyclique s'il admet une suite de composition dont tous les facteurs sont cycliques.
Exercice 5.3.13
1) Donner des exemples de groupes polycycliques, et montrer que pour un groupe fini, polycyclique et résoluble sont synonymes.
2) Montrer qu'un sous-groupe d'un groupe polycyclique est polycyclique, qu'un quotient de
groupes polycycliques est polycyclique.
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