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Théorie des groupes
Exercice 5.3.5
Montrer que le groupe TU(n, OC) des matrices triangulaires unipotentes est nilpotent. On
pourra introduire des sous-ensembles de matrices dont les « surdiagonales » ( en un sens à
préciser ... ) sont nulles.
Une propriété importante des groupes nilpotents est qu'ils n'ont pas de sous-groupe
propre autonormalisant.
Exercice 5.3.6
Montrer que si Gest nilpotent, et si H < G, alors H < NG (H)
1
• On pourra introduire le plus
grand k tel que Zk :::; H.
En utilisant l'exercice précédent, nous allons maintenant caractériser les groupes nilpotents finis par leurs p-Sylow. On retrouve ainsi encore une propriété des groupes commutatifs.
Exercice 5.3.7
Montrer qu'un sous-groupe fini G est nilpotent si et seulement si il satisfait l'une des conditions suivantes :
• Tout p-Sylow de G est normal dans G.
• G est le produit direct de ses p-Sylow.
• Tout sous-groupe maximal dans G est normal dans G.
Vo ici maintenant une catégorie de groupes très renommée, celle des groupes résolubles.
Sans que nous puissions le montrer dans le cadre de cet ouvrage, disons que ces groupes
sont liés à la question de la résolubilité d'une équation algébrique« par radicaux»; voir
tout ouvrage traitant de la théorie de Galois.
On dit qu'un groupe G est résoluble s'il admet une suite de composition à facteurs
commutatifs. La notion de groupe résoluble est encore une de celles qui généralisent la
notion de groupe commutatif, car, bien sûr, tout groupe commutatif est résoluble.
Exercice 5.3.8
1) Montrer qu'un groupe simple non commutatif n'est pas résoluble.
2) Montrer qu'un groupe nilpotent est résoluble.
3) Examiner la résolubilité des groupes S,, et donner un exemple de groupe résoluble non
nilpotent.
Comme pour les groupes nilpotents, il existe une suite de composition particulière qui
permet de tester la résolubilité d'un groupe.
1. En utilisant le symbole <, on veut signaler que c'est un sous-groupe strict.
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Théorie des groupes
Exercice 5.3.5
Montrer que le groupe TU(n, OC) des matrices triangulaires unipotentes est nilpotent. On
pourra introduire des sous-ensembles de matrices dont les « surdiagonales » ( en un sens à
préciser ... ) sont nulles.
Une propriété importante des groupes nilpotents est qu'ils n'ont pas de sous-groupe
propre autonormalisant.
Exercice 5.3.6
Montrer que si Gest nilpotent, et si H < G, alors H < NG (H)
1
• On pourra introduire le plus
grand k tel que Zk :::; H.
En utilisant l'exercice précédent, nous allons maintenant caractériser les groupes nilpotents finis par leurs p-Sylow. On retrouve ainsi encore une propriété des groupes commutatifs.
Exercice 5.3.7
Montrer qu'un sous-groupe fini G est nilpotent si et seulement si il satisfait l'une des conditions suivantes :
• Tout p-Sylow de G est normal dans G.
• G est le produit direct de ses p-Sylow.
• Tout sous-groupe maximal dans G est normal dans G.
Vo ici maintenant une catégorie de groupes très renommée, celle des groupes résolubles.
Sans que nous puissions le montrer dans le cadre de cet ouvrage, disons que ces groupes
sont liés à la question de la résolubilité d'une équation algébrique« par radicaux»; voir
tout ouvrage traitant de la théorie de Galois.
On dit qu'un groupe G est résoluble s'il admet une suite de composition à facteurs
commutatifs. La notion de groupe résoluble est encore une de celles qui généralisent la
notion de groupe commutatif, car, bien sûr, tout groupe commutatif est résoluble.
Exercice 5.3.8
1) Montrer qu'un groupe simple non commutatif n'est pas résoluble.
2) Montrer qu'un groupe nilpotent est résoluble.
3) Examiner la résolubilité des groupes S,, et donner un exemple de groupe résoluble non
nilpotent.
Comme pour les groupes nilpotents, il existe une suite de composition particulière qui
permet de tester la résolubilité d'un groupe.
1. En utilisant le symbole <, on veut signaler que c'est un sous-groupe strict.
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