5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
151
2) Entre deux termes consécutifs d'une suite de Jordan-Holder, on ne peut insérer aucun
sous-groupe (normal dans le plus grand), car le quotient est simple. Si donc on applique
le théorème précédent à deux suites de Jordan-Hôlder, on obtient des raffinements équivalents mais qui contiennent, une fois enlevées les répétitions, les mêmes sous-groupes
que les suites initiales. Les deux suites sont donc équivalentes. Les facteurs d'une suite de
Jordan-Hôlder sont donc indépendants de la suite et ne dépendent que du groupe.
5.3 GROUPES NILPOTENTS, GROUPES RÉSOLUBLES
Parmi les groupes admettant une suite de composition, il en est qui ont une propriété
supplémentaire ; nous commencerons par le cas des groupes nilpotents, bien que leur
définition paraisse, de prime abord, peu naturelle.
On dit qu'un groupe est nilpotent s'il admet une suite de composition
{e} = Ho telle que:
H;+i /H ; � Z (G/H;)
pour tout ide O à n - 1. pne telle suite s'appelle suite centrale.
Exercice 5.3.1
Montrer que les groupes commutatifs et les p-groupes finis sont nilpotents.
Exercice 5.3.2
On note (Z;) la suite des sous-groupes d'un groupe G définis par:
Zo = {e },
Z;+ i/Z; = Z (G/Z;)
Montrer que cette suite est croissante et que G est nilpotent ssi il existe n tel que Z,, = G.
Exercice 5.3.3
On note (fC i ) ) la suite des groupes définie par :
f(O) =G ,
Montrer que cette suite est décroissante et que G est nilpotent ssi il existe n tel que f M = { e}.
On pourra utiliser l'exercice 5. 1.14.
Exercice 5.3.4
Montrer que tout sous-groupe d'un groupe nilpotent est nilpotent. Vérifier que tout quotient
d'un groupe nilpotent l'est aussi, ainsi que tout produit direct de deux groupes nilpotents.
www.bibliomath.com