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Théorie des groupes
On peut maintenant prouver les isomorphismes demandés à l'aide du premier théorème d' isomorphisme, soit x E H1 (H2 n K2), Alors x = hg où h E H1 et g E H2 n K2. On définit un
morphisme de H1 (H2 n K2) dans H2 n K2/(H1 n K2)(H2 n K1 ) par
(x) = g(H1 n K2)(H2 n H1 )
Cette application est bien définie :
X = hg = h'g' =*° g'g- • = h
1 -
1
h E (H2 n K2) n H1 = H1 n K2 C (H1 n K2)(H2 n H1 )
et (x) ne dépend pas de la décomposition de X; Par ailleurs est bien un morphisme, par
définition de la loi dans le quotient, surjectif, car g peut parcourir H 2 n K 2 • Cherchons enfin
le noyau:
x = hg E Ker {=} g = uv où u E H 1 n K 2 et v E H 2 E K 1
On a donc x = (hu)v E H 1 (H 2 n K 1 ) et le premier théorème d'isomorphisme donne:
H1 (H2 n K2)/H1 (H2 n K1 ) '?t (H2 n K2)/(H1 n K2)(H2 n K1 )
En échangeant les rôles, on obtient l'autre isomorphisme demandé. Pour mieux suivre la
démonstration, contempler le « papillon » dessiné par les sous-groupes
H1 (H2 n K2)
K1 (H2 n Ki )
:� �:
H1 (H2 n Ki )
H2 n K2
K1 (H1 n K2)
1
:
1
H1
1
1
1
1
(H1 n K2)(H2 n K1 )
��
H1 nK 2
H2 nK 1
��
5.2.6 1) Supposons que G ait deux suites de compositions (H;) de longueur ne t (K j ) de
longueur m. Alors le lemme précédent permet d'insérer entre H; et H; + t les groupes
H;(H; + t n K j ) et H;(H; +1 n K j+ t) le premier étant normal dans le suivant. On obtient une
suite de mn termes dont la suite initiale est une sous-suite. Mais si l'on fait la même opération avec la suite (K j ), on obtient une suite de même longueur et les isomorphismes issus
du lemme de Zassenhaus prouvent que nos deux suites sont équivalentes. Bien sfu, si on
« simplifie» ces suites de composition en ôtant les groupes superflus (égaux au suivant),
on aura en général un raffinement de longueur inférieure à mn.
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