5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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Remarquons que les facteurs sont tous isomorphes à Z/2, c'est une suite de Jordan-Holder.
On obtient d'autres suites avecj et k.
Il y a trois éléments d'ordre 2 dans V. Il y a donc trois suites de Jordan-Holder différentes,
dont les facteurs sont isomorphes à Z/2 ; c'est donc différent de Z/4 qui n'a qu'une suite
de Jordan-holder, avec les mêmes facteurs.
4) 'li, n'a pas de suite de Jordan-Holder. Rappelons en effet que tout groupe commutatif simple
est isomorphe à Z/p où p est premier (1.2.5). On en déduit que tout groupe commutatif
admettant une suite de Jordan-Holder est fini, car chaque facteur de la décomposition est
fini. 'li, a, en revanche, des suites de composition aussi longues qu'on veut :
5.2.2 Commençons par le plus simple. Si n � 5, S,, a un seul sous-groupe normal non
trivial, son sous-groupe alterné, et ce sous-groupe est simple. Il y a donc une seule suite de
Jordan-Holder (et une seule suite de composition non triviale) :
{e} � A1 1 �S 1 1
On obtient d'ailleurs le même résultat pour n = 3. Dans le cas n = 4, on obtient :
{e} � (u) �V� Ai� S4
où u est une double transposition et V le groupe de Klein des doubles transpositions. On
obtient d'autre suites en changeant de double transposition.
5.2.3 Un premier exemple peut être donné par le groupe SN qui généralise l'exemple précédent. Il a un sous-groupe simple d'indice 2, le groupe alterné ÀN, voir le problème 1.3.2.
5.2.4 La suite de Jordan-Holder du groupe S4 présentée ci-dessus est un exemple. Le groupe
(u) n'est pas normal dans S 4 , car il ne contient pas tous les éléments d'une classe de conjugaison.
5.2.5 Commençons par observer qu'on a les inclusions suivantes :
Ces inclusions sont claires, et les ensembles indiqués sont bien des sous-groupes, à cause de
la normalité de H 1 dans H 2 . La normalité sera prouvée plus loin.
Montrons également que
D'abord
H 1 H 1 n K 2
K 2 . De même, en échangeant les rôles. Enfin, si deux sous-groupes sont normaux dans un
groupe, leur produit est aussi normal dans le groupe
1
, d'où :
www.bibliomath.com
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Remarquons que les facteurs sont tous isomorphes à Z/2, c'est une suite de Jordan-Holder.
On obtient d'autres suites avecj et k.
Il y a trois éléments d'ordre 2 dans V. Il y a donc trois suites de Jordan-Holder différentes,
dont les facteurs sont isomorphes à Z/2 ; c'est donc différent de Z/4 qui n'a qu'une suite
de Jordan-holder, avec les mêmes facteurs.
4) 'li, n'a pas de suite de Jordan-Holder. Rappelons en effet que tout groupe commutatif simple
est isomorphe à Z/p où p est premier (1.2.5). On en déduit que tout groupe commutatif
admettant une suite de Jordan-Holder est fini, car chaque facteur de la décomposition est
fini. 'li, a, en revanche, des suites de composition aussi longues qu'on veut :
5.2.2 Commençons par le plus simple. Si n � 5, S,, a un seul sous-groupe normal non
trivial, son sous-groupe alterné, et ce sous-groupe est simple. Il y a donc une seule suite de
Jordan-Holder (et une seule suite de composition non triviale) :
{e} � A1 1 �S 1 1
On obtient d'ailleurs le même résultat pour n = 3. Dans le cas n = 4, on obtient :
{e} � (u) �V� Ai� S4
où u est une double transposition et V le groupe de Klein des doubles transpositions. On
obtient d'autre suites en changeant de double transposition.
5.2.3 Un premier exemple peut être donné par le groupe SN qui généralise l'exemple précédent. Il a un sous-groupe simple d'indice 2, le groupe alterné ÀN, voir le problème 1.3.2.
5.2.4 La suite de Jordan-Holder du groupe S4 présentée ci-dessus est un exemple. Le groupe
(u) n'est pas normal dans S 4 , car il ne contient pas tous les éléments d'une classe de conjugaison.
5.2.5 Commençons par observer qu'on a les inclusions suivantes :
Ces inclusions sont claires, et les ensembles indiqués sont bien des sous-groupes, à cause de
la normalité de H 1 dans H 2 . La normalité sera prouvée plus loin.
Montrons également que
D'abord
H 1
K 2 . De même, en échangeant les rôles. Enfin, si deux sous-groupes sont normaux dans un
groupe, leur produit est aussi normal dans le groupe
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, d'où :
www.bibliomath.com