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Théorie des groupes
Exercice 5.2.5 (Lemme de Zassenhaus)
Soient deux paires de sous-groupes de G, H 1
isomorphe au groupe
Il pourra aussi être utile de dessiner l'organisation des groupes qui interviennent dans la démonstration ... Et l'on comprendra pourquoi ce lemme s'appelle aussi le lemme du papillon.
Encore une définition. Deux suites de compositions sont dites équivalentes si elles ont
même longueur et des facteurs isomorphes deux à deux, sans tenir compte de l'ordre dans
lequel ils apparaissent.
Exercice 5.2.6
1) Démontrer que deux suites de composition ont des raffinements équivalents. Ce résultat
constitue le théorème de Schreier, et l'on pourra utiliser le lemme du papillon pour le
démontrer.
2) En déduire que si un groupe admet une suite de Jordan-Hôlder, alors toutes les suites de
composition ont un raffinement qui est une suite de Jordan-Hôlder, et toutes les suites de
Jordan-Holder sont équivalentes. Ce résultat constitue le théorème de Jordan-Holder.
SOLUTIONS
5.2.1 1) La seule suite de composition sans répétition d'un groupe simple Gest« triviale»
{ e} :::;; G, car le premier groupe H 11_ 1 doit être normal dans G. Elle peut être plus longue
si l'on autorise les répétitions. C'est bien sûr une suite de Jordan-Holder.
2) Les sous-groupes d'un groupe cyclique Z/n sont cycliques d'ordre d, où dln. Et le quotient
est isomorphe à Z/ l Il sera simple ssi � est premier. Une suite de composition est donc
déterminée par une suite d'entiers (d;);=O .. k, tels que
1 = dold d .. , ld k - dd k = n
et une suite de Jordan-Hôlder est une suite de composition pour laquelle tous les quotients
� sont premiers.
3) e :::;; (r) :::;; ID>211
où r' = e, est une suite de composition du groupe diédral. Le premier facteur est isomorphe
à Z/2; comme (r) est un groupe cyclique, on obtient des suites de composition (et de
Jordan-Hôlder) à l'aide de la question précédente.
Les sous-groupes du groupe quaternionique IHl 8 sont tous normaux. En écrivant
ll:lls = {±1, ±i, ±j , ±k}
une suite de composition est : 1:::;; ( -1 ) :::;; ( i ) :::;; ll:lls
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Théorie des groupes
Exercice 5.2.5 (Lemme de Zassenhaus)
Soient deux paires de sous-groupes de G, H 1
isomorphe au groupe
Il pourra aussi être utile de dessiner l'organisation des groupes qui interviennent dans la démonstration ... Et l'on comprendra pourquoi ce lemme s'appelle aussi le lemme du papillon.
Encore une définition. Deux suites de compositions sont dites équivalentes si elles ont
même longueur et des facteurs isomorphes deux à deux, sans tenir compte de l'ordre dans
lequel ils apparaissent.
Exercice 5.2.6
1) Démontrer que deux suites de composition ont des raffinements équivalents. Ce résultat
constitue le théorème de Schreier, et l'on pourra utiliser le lemme du papillon pour le
démontrer.
2) En déduire que si un groupe admet une suite de Jordan-Hôlder, alors toutes les suites de
composition ont un raffinement qui est une suite de Jordan-Hôlder, et toutes les suites de
Jordan-Holder sont équivalentes. Ce résultat constitue le théorème de Jordan-Holder.
SOLUTIONS
5.2.1 1) La seule suite de composition sans répétition d'un groupe simple Gest« triviale»
{ e} :::;; G, car le premier groupe H 11_ 1 doit être normal dans G. Elle peut être plus longue
si l'on autorise les répétitions. C'est bien sûr une suite de Jordan-Holder.
2) Les sous-groupes d'un groupe cyclique Z/n sont cycliques d'ordre d, où dln. Et le quotient
est isomorphe à Z/ l Il sera simple ssi � est premier. Une suite de composition est donc
déterminée par une suite d'entiers (d;);=O .. k, tels que
1 = dold d .. , ld k - dd k = n
et une suite de Jordan-Hôlder est une suite de composition pour laquelle tous les quotients
� sont premiers.
3) e :::;; (r) :::;; ID>211
où r' = e, est une suite de composition du groupe diédral. Le premier facteur est isomorphe
à Z/2; comme (r) est un groupe cyclique, on obtient des suites de composition (et de
Jordan-Hôlder) à l'aide de la question précédente.
Les sous-groupes du groupe quaternionique IHl 8 sont tous normaux. En écrivant
ll:lls = {±1, ±i, ±j , ±k}
une suite de composition est : 1:::;; ( -1 ) :::;; ( i ) :::;; ll:lls
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