5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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de généraliser, mais nou� n'obtiendrons pas dans cette première approche des résultats
aussi définitifs. L'idée est de poursuivre ce qui a été fait dans le paragraphe sur les suites
exactes.
Commençons par définir une suite de composition d'un groupe G; c'est une suite finie
(H;);=o .. 11 , de sous-groupes de G telle que :
i) Ho = { e}
H,, = G
ii) H; Les quotients sont souvent appelés facteurs de la suite de composition. Si, de plus, la
condition suivante est satisfaite
iii) H;+i /H; est un groupe simple non trivial pour tout ide O à n - 1
alors on parle de suite de Jordan-Holder. Commençons par quelques exemples faciles.
Exercice 5.2.1
1) Quelles sont les suites de composition, de Jordan-Holder, des groupes simples ?
2) Décrire les suites de composition, de Jordan-Holder, des groupes cycliques Z/n.
3) Trouver les suites de composition, de Jordan-Holder, des groupes IIJJ 2, ,, IH[ 8 et V = Z/2 x
Z/2.
4) Étudier le cas de Z et des groupes commutatifs infinis.
Exercice 5.2.2
Quelles sont les suites de Jordan-Holder de §,,?
Exercice 5.2.3
Donner un exemple de groupe infini admettant une suite de Jordan-Hôlder.
Les sous-groupes qui interviennent dans une suite de composition sont normaux les uns
dans les autres, mais pas forcément normaux dans G ; ce sont des sous-groupes sousnormaux, pour reprendre la terminologie de l'exercice 3.2.20.
Exercice 5.2.4
Si tous les sous-groupes (H;) d'une suite de composition sont normaux dans G, ils définissent
une suite de composition normale. Donner un exemple de suite de composition qui n'est pas
normale.
Nous allons maintenant montrer que les suites de Jordan-Hôlder sont, dans une certaine
mesure, toutes les mêmes. Une définition pour commencer.
On appelle raffinement d'une suite de composition (H;), une suite (K;) dont la suite (H;)
est une sous-suite. Commençons par un lemme technique.
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