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Th éorie des groupes
5.1 .15 Si H = H', cela signifie que tout élément de H est un produit de commutateurs faits
à partir d'éléments de H, et c'est donc en particulier un élément du groupe dérivé G' .
5. 1 . 16 1) On va encore utiliser une des formules de l'exercice 5 .1. 7 :
z <.xy) = [z,.xy ] = [z,x ] x [z,
y
] x- 1
Mais on sait que z E Z 2 , et par définition de Z 2 :
z
y
Z, = y zZ 1 {=:::} [z,y ] E Z 1
et [z, y ] commute avec x, donc
(x y ) = (x)(y)
On peut aussi utiliser la troisième question de l'exercice 5 .1.14 ou l'exercice 5 .1.5.
2) Nous venons de voir que tout les éléments de la forme [z,y ] sont dans le centre, on a bien
lm( z ) � Z 1 . En appliquant le premier théorème d'isomorphisme, le quotient G / Ker( z )
est donc commutatif, ce qui implique que G' C Ker( z ),
3) Si G = G' , alors pour tout z de Z2 , Ker(z) = G, donc [z,x ] = e pour tout x, ce qui implique
z E Z 1 . On en déduit que Zi/Z1 est trivial, ce qui signifie que le centre de G/Z(G) est
trivial.
5.1 .17 1) Si le centre est d'indice n, G est la réunion de n classes à gauche de la forme
x;Z(G), et un commutateur quelconque [a ,b ] peut s'écrire [x;z,xiz' ] où z et z' sont dans
le centre; mais alors ce commutateur est égal à [x;,Xj] et il y a moins de n
2
commutateurs
distincts.
2) Puisque G/Z(G) est d'ordre n, le théorème de Lagrange permet de dire que la classe de
[x,y ] est d'ordre n, c'est-à-dire que [x,y ]
" E Z. En utilisant ce résultat, on obtient:
[x,y ]
11+ 1
= x y x- 1 [x, y ]
11 y - 1
= x y x- 1 x y x- 1 y -
1
[x,
y
]
11 - 1
y
- 1
= [x, y
2
]
y
[x, y ] "- l y - l
= [x, y
2
]
[y x y- 1 , y ] "- 1
3) Un élément x du groupe dérivé est produit de commutateurs choisis parmi les (au plus)
n
2
. Supposons que ce produit contienne k commutateurs. Si un des commutateurs c apparaît plus de n fois dans cette écriture, on peut, par conjugaison, écrire x sous la forme
x = c
11+ 1
c 1 c 2 ... ce où les c 1 c 2 sont des conjugués de commutateurs et sont donc des commutateurs. Mais la relation précédente prouve alors qu'on peut écrire x comme produit de
k - 1 commutateurs. Ainsi, x s'écrit comme produit d'au plus n
3
commutateurs. Comme
il y a au plus n
2
commutateurs, le groupe dérivé G' a au plus (n
2
y,3 éléments. On peut
améliorer sérieusement ce majorant...
5.2 RÉSOLUTION DE GROUPES
Comme tout nombre entier se décompose en facteurs premiers, on peut essayer de décomposer en éléments« simples». Nous avons vu un premier exemple de cette décomposition dans le cas des groupes commutatifs finis, ou de type fini. Nous allons essayer
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Th éorie des groupes
5.1 .15 Si H = H', cela signifie que tout élément de H est un produit de commutateurs faits
à partir d'éléments de H, et c'est donc en particulier un élément du groupe dérivé G' .
5. 1 . 16 1) On va encore utiliser une des formules de l'exercice 5 .1. 7 :
z <.xy) = [z,.xy ] = [z,x ] x [z,
y
] x- 1
Mais on sait que z E Z 2 , et par définition de Z 2 :
z
y
Z, = y zZ 1 {=:::} [z,y ] E Z 1
et [z, y ] commute avec x, donc
(x y ) = (x)(y)
On peut aussi utiliser la troisième question de l'exercice 5 .1.14 ou l'exercice 5 .1.5.
2) Nous venons de voir que tout les éléments de la forme [z,y ] sont dans le centre, on a bien
lm(
est donc commutatif, ce qui implique que G' C Ker(
3) Si G = G' , alors pour tout z de Z2 , Ker(
z E Z 1 . On en déduit que Zi/Z1 est trivial, ce qui signifie que le centre de G/Z(G) est
trivial.
5.1 .17 1) Si le centre est d'indice n, G est la réunion de n classes à gauche de la forme
x;Z(G), et un commutateur quelconque [a ,b ] peut s'écrire [x;z,xiz' ] où z et z' sont dans
le centre; mais alors ce commutateur est égal à [x;,Xj] et il y a moins de n
2
commutateurs
distincts.
2) Puisque G/Z(G) est d'ordre n, le théorème de Lagrange permet de dire que la classe de
[x,y ] est d'ordre n, c'est-à-dire que [x,y ]
" E Z. En utilisant ce résultat, on obtient:
[x,y ]
11+ 1
= x y x- 1 [x, y ]
11 y - 1
= x y x- 1 x y x- 1 y -
1
[x,
y
]
11 - 1
y
- 1
= [x, y
2
]
y
[x, y ] "- l y - l
= [x, y
2
]
[y x y- 1 , y ] "- 1
3) Un élément x du groupe dérivé est produit de commutateurs choisis parmi les (au plus)
n
2
. Supposons que ce produit contienne k commutateurs. Si un des commutateurs c apparaît plus de n fois dans cette écriture, on peut, par conjugaison, écrire x sous la forme
x = c
11+ 1
c 1 c 2 ... ce où les c 1 c 2 sont des conjugués de commutateurs et sont donc des commutateurs. Mais la relation précédente prouve alors qu'on peut écrire x comme produit de
k - 1 commutateurs. Ainsi, x s'écrit comme produit d'au plus n
3
commutateurs. Comme
il y a au plus n
2
commutateurs, le groupe dérivé G' a au plus (n
2
y,3 éléments. On peut
améliorer sérieusement ce majorant...
5.2 RÉSOLUTION DE GROUPES
Comme tout nombre entier se décompose en facteurs premiers, on peut essayer de décomposer en éléments« simples». Nous avons vu un premier exemple de cette décomposition dans le cas des groupes commutatifs finis, ou de type fini. Nous allons essayer
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