5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
145
5.1 .12 [H,K ] est engendré par les commutateurs de la forme [h,k ] = hkh1
k1
• Mais
[h,kr
1
= [k,h ] et donc [H,K ] = [K,H ].
Utilisant une des formules de l'exercice 5.1.7, on peut écrire:
h[h',kJh - 1 = [hh',kUh,kr
1
où h et h ' sont dans H et k dans K. Ce conjugué d'un élément de [H, K] est donc dans [H, K].
De même, le conjugué par un élément de K, et donc par un élément de (H, K) . On a bien:
[H, K] <1 (H, K)
En général, le groupe [H, K] n'est pas normal dans G, mais:
g [h,k ] g - l = [ g h g - 1 , g k g - 1
]
prouve que le groupe est normal dans G si H et K sont normaux dans G.
Remarque : Ici comme dans d'autres exercices, nous raisonnons seulement sur des
générateurs du groupe des commutateurs. Il faut se convaincre que cela suffit.
5.1 .13 1) Les calculs de conjugués faits dans l'exercice 5.1.2 pour le groupe diédral restent
valables dans ce cas et prouvent que le centre est réduit à e. Comme tout commutateur est
une puissance paire de a, le groupe dérivé est ID>:X, = ( a
2
) '::! Z. De plus,
(ID> oo ) ab = ( a , b I b
2
= 1, bab- 1 = a1
, ab = ba)
= ( a , b I b
2
= 1, a
2
= 1, ab = ba) '::! Z/2 x Z/2
2) b et ab sont d'ordre 2, comme donc H et K. En revanche, [ab, b] = a
2
et [H, K] = ID>:X,,
donc d'ordre infini.
5.1 .14 1) [h, k] = (hkh - 1 )k1
E K
= h(kh - l k - 1
) EH
(avec des notations évidentes). Donc [H, K] � H n K. Si cette intersection est réduite au
neutre, on voit que tout élément de H commute à tout élément de K, fait déjà observé dans
les exercices concernant le produit direct, voir 1.1.23, par exemple.
2) C'est le même calcul:
[h, g ] EH {=:::} g h g - 1 EH
et comme cela doit être vrai pour tous les éléments, cela équivaut à H
inclus dans le centre ssi :
h g K = g hK {=:::} [h, g] E K
ce qui donne bien [H, G] � K.
4) L'exercice 5.1.7 donne:
[fk , hJ = J[k, h Jr - 1
lf , hJ
et comme les sous-groupes sont normaux dans G, les groupes de commutateurs le sont
aussi, on en déduit :
[FK, H] c [K, H] [F, H] = [F, H] [K, H]
L'autre inclusion se déduit immédiatement du fait que K et F sont des sous-groupes de
FK.
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5.1 .12 [H,K ] est engendré par les commutateurs de la forme [h,k ] = hkh1
k1
• Mais
[h,kr
1
= [k,h ] et donc [H,K ] = [K,H ].
Utilisant une des formules de l'exercice 5.1.7, on peut écrire:
h[h',kJh - 1 = [hh',kUh,kr
1
où h et h ' sont dans H et k dans K. Ce conjugué d'un élément de [H, K] est donc dans [H, K].
De même, le conjugué par un élément de K, et donc par un élément de (H, K) . On a bien:
[H, K] <1 (H, K)
En général, le groupe [H, K] n'est pas normal dans G, mais:
g [h,k ] g - l = [ g h g - 1 , g k g - 1
]
prouve que le groupe est normal dans G si H et K sont normaux dans G.
Remarque : Ici comme dans d'autres exercices, nous raisonnons seulement sur des
générateurs du groupe des commutateurs. Il faut se convaincre que cela suffit.
5.1 .13 1) Les calculs de conjugués faits dans l'exercice 5.1.2 pour le groupe diédral restent
valables dans ce cas et prouvent que le centre est réduit à e. Comme tout commutateur est
une puissance paire de a, le groupe dérivé est ID>:X, = ( a
2
) '::! Z. De plus,
(ID> oo ) ab = ( a , b I b
2
= 1, bab- 1 = a1
, ab = ba)
= ( a , b I b
2
= 1, a
2
= 1, ab = ba) '::! Z/2 x Z/2
2) b et ab sont d'ordre 2, comme donc H et K. En revanche, [ab, b] = a
2
et [H, K] = ID>:X,,
donc d'ordre infini.
5.1 .14 1) [h, k] = (hkh - 1 )k1
E K
= h(kh - l k - 1
) EH
(avec des notations évidentes). Donc [H, K] � H n K. Si cette intersection est réduite au
neutre, on voit que tout élément de H commute à tout élément de K, fait déjà observé dans
les exercices concernant le produit direct, voir 1.1.23, par exemple.
2) C'est le même calcul:
[h, g ] EH {=:::} g h g - 1 EH
et comme cela doit être vrai pour tous les éléments, cela équivaut à H
inclus dans le centre ssi :
h g K = g hK {=:::} [h, g] E K
ce qui donne bien [H, G] � K.
4) L'exercice 5.1.7 donne:
[fk , hJ = J[k, h Jr - 1
lf , hJ
et comme les sous-groupes sont normaux dans G, les groupes de commutateurs le sont
aussi, on en déduit :
[FK, H] c [K, H] [F, H] = [F, H] [K, H]
L'autre inclusion se déduit immédiatement du fait que K et F sont des sous-groupes de
FK.
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