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Théorie des groupes
3) Si l'on ajoute les relations x;x;+ 1 = x;+ 1 x;, on obtient x; = x;+1 et l'abélianisé de groupe des
tresses B 11 est donc Z.
5.1 .1 1 1) Le produit de deux éléments de G est donné par :
( 1 f(x) h(x ,y)
)
( 1 f'(x) h'(x, y)
)
0
1
g(y)
0
1
g'(y)
0 0
1
0
0
1
(
1 f(x) + f'(x) h(x,y) + h'(x, y) + f(x)g'(y)
)
= 0
1
g(y) + g'(y)
0
0
1
Il en résulte que G est un groupe. L'inverse d'une matrice est donné par :
( 1 f(x) h(x, y)
)
- I
( 1 -f (x)
0
1
g(y)
= 0
1
0 0
1
0
0
f(x)g(y) - h(x, y)
)
-g(y)
2) Le commutateur de deux matrices est de la forme :
(
1 0 f(x)g'(y) - f'(x)g(y)
)
0 1
0
0 0
1
3) En choisissant bien les matrices, par exemple avecf'(x) = 0, on voit que le groupe dérivé
contient toutes les matrices dont l'élément en haut à droite est de la forme i'y
1
• Par ailleurs :
(
1 0 a
) (
1 0 b
) (
1 0 a+ b
)
010
010=01
0
00 1
00 1
00
1
ce qui prouve que le groupe dérivé est formé des matrices de la forme
(
l O h(x,y)
)
0 1
0
0 0
1
et qu'il est isomorphe à IR.[x, y] muni de l'addition.
4) Il suffit donc de montrer que le polynôme x
2
+ xy + y
2
ne peut se mettre sous la forme :
x
2
+ xy + y
2
= p(x) q (y) + r(x)s(y)
La démonstration utilise de l'algèbre linéaire. Si l'on pose q (y) = L; a;y
i
et s(y) = L; b;y
i
,
alors l'identification des coefficients de y dans les deux membres donne :
x
2
= aop(x) + bo q (x)
x = a 1p(x) + b 1q (x)
1 = a 2 p(x) + b 2q (x)
et dans l'espace vectoriel IR.[x], les polynômes indépendants 1, x et x
2
seraient combinaisons linéaires de deux polynômes p(x) et q (x).
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