5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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simplicité du groupe alterné et sa non-commutativité ; le groupe dérivé étant normal, il ne
peut que coïncider avec A,,. Enfin, pour être complet, regardons les cas n = 3 et n = 4:
A; = { e} et A� = V
ce dernier groupe est le groupe des doubles transpositions.
5.1.9 1) G ab est abélien car x y G' = yxG' {=::::} x1 y - 1 .xy E G' ce qui est bien vrai.
2) Supposons G/H commutatif. Alors la projection p : G --+ G/H envoie G' sur l'élément
neutre puisque le groupe d'arrivée est commutatif. Donc G' :::;; H. Réciproquement, tout
commutateur du quotient est l'image d'un commutateur:
xH y H.x1
H y -
1
H = x y x1 y -
1
H
et donc le quotient est commutatif dès que H contient tous les commutateurs.
3) Si G' :::;; H :::;; G, H est l'image réciproque par p d'un sous-groupe forcément normal du
groupe commutatif G/G' , donc il est normal dans G.
4) Cette factorisation est tout simplement une application du théorème général de factorisation (l.2. 14). En effet, sif est un morphisme de G dans un groupe commutatif:
f( aba - 1 b1
) =f(a)f( b)f( a)1
f( b)1
= 1
puisque le groupe d'arrivée est commutatif. Le noyau def contient donc le groupe dérivé.
5.1.10 1) Notons C l'ensemble des relations x;xi = xi x; et H le sous-groupe normal engendré par ces relations. Le théorème de Vo n Dyck nous assure que si G = (X J R), alors
(X JR, C) �G /H
Il suffit de montrer que H est bien le sous-groupe dérivé G' . Le sous-groupe normal engendré par les commutateurs des générateurs est inclus dans le groupe dérivé. Mais les
formules de l'exercice 5. 1.7 prouvent que ce groupe contient tous les commutateurs d'éléments de G : il est donc égal au groupe dérivé.
2) De la présentation du groupe diédral, on déduit :
(][J) 2 ,,) ab = (r, s J r'' = s
2
= 1, srs1
= ,1
, rs = sr)
= (r, s J r'' = s 2 = 1, rss1
= ,1 , rs = sr)
= (r, s J r'' =r 2 =1, s 2 =1, rs = sr)
Il y a donc deux cas :
- si n est pair, il s'agit du produit direct Z/2 x Z/2;
- si n est impair, r = 1 et l'abélianisé est Z/2.
Pour le second groupe, on obtient :
a
2
= b
3
= c
5
= ab c, ab = ba , ac= ca , be= ac => a= be, b
3
=abc= b 2 c 2
=> b=c
2
=> b
3
=c
6
=c
5
et donc c = 1 =a= b. L'abélianisé est trivial, donc G = G'
1
•
1. Ce groupe, à 120 éléments, est le groupe « binaire icosaédral ».
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simplicité du groupe alterné et sa non-commutativité ; le groupe dérivé étant normal, il ne
peut que coïncider avec A,,. Enfin, pour être complet, regardons les cas n = 3 et n = 4:
A; = { e} et A� = V
ce dernier groupe est le groupe des doubles transpositions.
5.1.9 1) G ab est abélien car x y G' = yxG' {=::::} x1 y - 1 .xy E G' ce qui est bien vrai.
2) Supposons G/H commutatif. Alors la projection p : G --+ G/H envoie G' sur l'élément
neutre puisque le groupe d'arrivée est commutatif. Donc G' :::;; H. Réciproquement, tout
commutateur du quotient est l'image d'un commutateur:
xH y H.x1
H y -
1
H = x y x1 y -
1
H
et donc le quotient est commutatif dès que H contient tous les commutateurs.
3) Si G' :::;; H :::;; G, H est l'image réciproque par p d'un sous-groupe forcément normal du
groupe commutatif G/G' , donc il est normal dans G.
4) Cette factorisation est tout simplement une application du théorème général de factorisation (l.2. 14). En effet, sif est un morphisme de G dans un groupe commutatif:
f( aba - 1 b1
) =f(a)f( b)f( a)1
f( b)1
= 1
puisque le groupe d'arrivée est commutatif. Le noyau def contient donc le groupe dérivé.
5.1.10 1) Notons C l'ensemble des relations x;xi = xi x; et H le sous-groupe normal engendré par ces relations. Le théorème de Vo n Dyck nous assure que si G = (X J R), alors
(X JR, C) �G /H
Il suffit de montrer que H est bien le sous-groupe dérivé G' . Le sous-groupe normal engendré par les commutateurs des générateurs est inclus dans le groupe dérivé. Mais les
formules de l'exercice 5. 1.7 prouvent que ce groupe contient tous les commutateurs d'éléments de G : il est donc égal au groupe dérivé.
2) De la présentation du groupe diédral, on déduit :
(][J) 2 ,,) ab = (r, s J r'' = s
2
= 1, srs1
= ,1
, rs = sr)
= (r, s J r'' = s 2 = 1, rss1
= ,1 , rs = sr)
= (r, s J r'' =r 2 =1, s 2 =1, rs = sr)
Il y a donc deux cas :
- si n est pair, il s'agit du produit direct Z/2 x Z/2;
- si n est impair, r = 1 et l'abélianisé est Z/2.
Pour le second groupe, on obtient :
a
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= b
3
= c
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= ab c, ab = ba , ac= ca , be= ac => a= be, b
3
=abc= b 2 c 2
=> b=c
2
=> b
3
=c
6
=c
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et donc c = 1 =a= b. L'abélianisé est trivial, donc G = G'
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1. Ce groupe, à 120 éléments, est le groupe « binaire icosaédral ».
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