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Théorie des groupes
Exercice 5.1.17
Dans cet exercice, on suppose que Z(G) est d'indice n.
1) Montrer que le nombre des commutateurs est inférieur à n
2
• On utilisera les classes de G
modulo le centre.
2) Montrer que, pour tous x, y de G, [x, y]" est dans le centre de G. En déduire la relation :
[x, y] " + I = [x, y
2 ] [y x y - 1 , y] "- 1
3) En déduire qu'un élément de G' est produit d'au plus n
3
commutateurs, G' est fini, donner
un majorant de son cardinal.
SOLUTIONS
5.1.6 x[a, b ] x- 1 = xaba- 1 b- 1 x- 1 = xax- 1 xbx- 1 xa- 1 x- 1 xb- 1 x- 1 = [xax- 1 ,xbx- 1
]
et donc le conjugué d'un commutateur est encore un commutateur. Plus généralement,
comme vu dans le problème 1.3.1, l'image d'un commutateur par un morphisme est un
commutateur. On en déduit que le groupe dérivé est normal dans G, caractéristique dans G,
et même pleinement invariant dans G.
1
5 .1. 7 Il s'agit de simples vérifications :
x [y , z ] x- 1 [x, z ] = xyzy- 1 z- 1 x- 1 xzx- 1 z- 1 =x y z y - 1 x- 1 z- 1 = [xy, z ]
[x, y ]y [x, z ]y - 1 = xyx - 1 y - 1 y xzx- 1 z- 1 y - 1 = [x,yz ]
[x, y - 1 ] = xy- 1 x- 1 y = y - 1 y x y - 1 x- 1 y = y- 1 [y ,x ]y
[x- 1 , y] =x- 1 y xy - 1 =x- 1 [y ,x ] x
5.1.8 - Le calcul fait dans l'exercice 5.1.7 montre que tout commutateur dans le groupe
diédral est le carré d'une rotation. Le sous-groupe dérivé est donc le groupe engendré par
les carrés. Si n est impair, c'est (r) � Z/n, si n= 2m, c'est (r
2
) � Z/m.
- Un commutateur est forcément une permutation paire, car produit de quatre permutations.
Le groupe dérivé est donc inclus dans le groupe alterné. Montrons que tout 3-cycle est un
commutateur. En effet, le carré d'un 3-cycle est encore un 3-cycle. Or, tous les 3-cycles
sont conjugués. On en déduit qu'il existe p telle que :
CT
2
= pcrp- 1
qui peut s'écrire :
cr= cr- 1 pcrp- 1 = [cr- 1 , p]
Comme de plus (3.2.8), on peut prendre p dans le groupe alterné, on vient de démontrer
que
s:, = A1 1 et A: , = A,.
au moins pour n � 5 dans le dernier cas. Une autre méthode consiste bien sûr à utiliser la
1. Vo ir le problème 1.3.1.
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Théorie des groupes
Exercice 5.1.17
Dans cet exercice, on suppose que Z(G) est d'indice n.
1) Montrer que le nombre des commutateurs est inférieur à n
2
• On utilisera les classes de G
modulo le centre.
2) Montrer que, pour tous x, y de G, [x, y]" est dans le centre de G. En déduire la relation :
[x, y] " + I = [x, y
2 ] [y x y - 1 , y] "- 1
3) En déduire qu'un élément de G' est produit d'au plus n
3
commutateurs, G' est fini, donner
un majorant de son cardinal.
SOLUTIONS
5.1.6 x[a, b ] x- 1 = xaba- 1 b- 1 x- 1 = xax- 1 xbx- 1 xa- 1 x- 1 xb- 1 x- 1 = [xax- 1 ,xbx- 1
]
et donc le conjugué d'un commutateur est encore un commutateur. Plus généralement,
comme vu dans le problème 1.3.1, l'image d'un commutateur par un morphisme est un
commutateur. On en déduit que le groupe dérivé est normal dans G, caractéristique dans G,
et même pleinement invariant dans G.
1
5 .1. 7 Il s'agit de simples vérifications :
x [y , z ] x- 1 [x, z ] = xyzy- 1 z- 1 x- 1 xzx- 1 z- 1 =x y z y - 1 x- 1 z- 1 = [xy, z ]
[x, y ]y [x, z ]y - 1 = xyx - 1 y - 1 y xzx- 1 z- 1 y - 1 = [x,yz ]
[x, y - 1 ] = xy- 1 x- 1 y = y - 1 y x y - 1 x- 1 y = y- 1 [y ,x ]y
[x- 1 , y] =x- 1 y xy - 1 =x- 1 [y ,x ] x
5.1.8 - Le calcul fait dans l'exercice 5.1.7 montre que tout commutateur dans le groupe
diédral est le carré d'une rotation. Le sous-groupe dérivé est donc le groupe engendré par
les carrés. Si n est impair, c'est (r) � Z/n, si n= 2m, c'est (r
2
) � Z/m.
- Un commutateur est forcément une permutation paire, car produit de quatre permutations.
Le groupe dérivé est donc inclus dans le groupe alterné. Montrons que tout 3-cycle est un
commutateur. En effet, le carré d'un 3-cycle est encore un 3-cycle. Or, tous les 3-cycles
sont conjugués. On en déduit qu'il existe p telle que :
CT
2
= pcrp- 1
qui peut s'écrire :
cr= cr- 1 pcrp- 1 = [cr- 1 , p]
Comme de plus (3.2.8), on peut prendre p dans le groupe alterné, on vient de démontrer
que
s:, = A1 1 et A: , = A,.
au moins pour n � 5 dans le dernier cas. Une autre méthode consiste bien sûr à utiliser la
1. Vo ir le problème 1.3.1.
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