5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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1) Chercher le centre, le sous-groupe dérivé, l'abélianisé.
2) Soit H = (b) et K = (ab). Quel est l'ordre de ces deux groupes ? Montrer que, néanmoins,
[H, K] est infini.
Exercice 5.1.14
1) Montrer que si H plus, H n K = { e} ?
2) De la même façon, montrer que :
H 3) Si les sous-groupes K, H vérifient K:::; H:::; G et K H/K :;,; Z(G/K) <===} [H, G] :;,; K
4) Avec trois sous-groupes maintenant, F, K et H que l'on suppose normaux dans G, montrer
que :
[FK, H] = [F, H][K, H]
Un groupe est parfait s'il est égal a son groupe dérivé. Nous avons déjà vu que c'était
le cas des groupes alternés (pour n � 5). Les groupes simples non commutatifs sont
parfaits, et il existe des groupes parfaits non simples, mais ils sont relativement rares.
C'est le cas du groupe binaire icosaédral rencontré dans l'exercice 5.1.10.
Exercice 5.1 .15
Montrer que tout sous-groupe parfait d'un groupe G est inclus dans le groupe dérivé G'.
Donnons une importante propriété des groupes parfaits, connue sous le nom de lemme
de Grün.
Exercice 5.1.16
1) Soit G un groupe, Z 1 son centre et Z2 le groupe défini par :
Zi /Z1 = Z(G/Z 1 )
(cf. l'exercice 5.1.5). Montrer que si z E Z 2 , alors
z : G ---+ G
x t-t [x, z]
est un morphisme.
2) Vérifier que :
G' :;,; Ker z et lm z :::; Z 1
3) En déduire que si G est pai
f
ait, alors G/ Z(G) a un centre trivial.
Pour terminer, un exercice qui relie la taille du groupe dérivé à celle du centre.
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