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Théorie des groupes
3) Le groupe des tresses $ 11 est le groupe engendré par des éléments x 1 , x 2 , ••• , x,, qui commutent pour li - jj > 1, et vérifient les relations:
X;+ 1 X;X;+ 1 = X;X;+ 1X;
Nous avons déjà rencontré $ 3 dans l'exercice 2.2. 16. Déterminer son abélianisé.
Il ne faut pas confondre le groupe dérivé qui est le groupe engendré par les commutateurs,
et l'ensemble des commutateurs. Autrement dit, il peut exister des éléments du groupe
dérivé qui ne sont pas des commutateurs. Mais il n'est pas facile de donner un exemple
simple de cette situation. En voici un.
Exercice 5.1 .11
Soit G l'ensemble des matrices de la forme :
( 1 f(x)
A= 0 1
0 0
h(x, y)
)
g(y)
1
oùf, g et h sont des polynômes à coefficients réels.
1) Montrer que G est un groupe pour le produit matriciel.
2) Déterminer les commutateurs des éléments de G.
3) Démontrer que le groupe dérivé de G est l'ensemble des matrices de la forme:
(
1 0 h(x, y)
)
B= 0 1
0
0 0
1
4) Démontrer que la matrice C définie par :
n'est pas un commutateur.
(
1 0
B= 0 1
0 0
Regardons maintenant une généralisation du groupe dérivé. Si H et K sont des sousgroupes de G, on note [H, K] le groupe engendré par les commutateurs [h, k] où h E H
et k E K.
Exercice 5.1.12
Montrer que [H, K] = [K, H] et que [H, K] est normal dans (H, K) . Si de plus H et K sont
normaux dans G, [H, K] est-il normal dans G?
Exercice 5.1.13
Soit ][J) 00 le groupe diédral infini, de présentation
][J) oo = (a, b I b
2
= 1, bab1
= a1 )
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