5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
Exercice 5.1. 7
Démontrer les formules suivantes
Exercice 5.1.8
[xy,z ] =x[y,z ] x1
[x,z ]
[x1
,y ] =x1
[y,x ] x
[x,yz ] = [x,y ]y [x,z ]y -
1
[x,y- 1 ] = y- i
[y,x ]y
Rechercher, ou retrouver les groupes dérivés des groupes suivants :
- le groupe diédral ll))21, ;
- le groupe symétrique S 11 et le groupe alterné A 11 •
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Le quotient d'un groupe G par son sous-groupe dérivé est« grand» quand G est commutatif, puisqu'alors le sous-groupe dérivé est réduit à l'élément neutre. C'est encore une
mesure de la commutativité de G. On l'appelle abélianisé de G, et on le note G ab ·
Exercice 5.1.9
1) Montrer que G ab est abélien.
2) Soit H 3) Démontrer également que si G' ::,; H::,; G alors H 4) Démontrer enfin que tout morphisme f de G dans un groupe commutatif G' se factorise
par l'abélianisé suivant le diagramme
où J est un morphisme unique tel que J op = f
Il est un cas où on détermine facilement l'abélianisé d'un groupe, c'est quand ce groupe
est donné par une présentation.
Exercice 5.1.10
1) Montrer que l'abélianisé d'un groupe G donné par une présentation s'obtient en ajoutant
aux relations initiales toutes les relations x;xi = XjX; où x; et xi sont des générateurs de G.
2) Utiliser ce résultat pour déterminer l'abélianisé des groupes suivants :
ll))21 1 , G = ( a , b, c J a
2
= b
3
= c
5
= abc)
ce dernier groupe est connu sous le non de groupe binaire icosaédral. Vo ir les problèmes,
section 6.2.
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