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Théorie des groupes
5.1.4 Le plus simple, et le plus fastidieux, est de faire le calcul avec les matrices de transvections. Le centralisateur d'une transvection T ij = I +E ij est formé des matrices dont la ligne
j et la colonne i sont nulles (sauf éventuellement sur la diagonale où il y a deux éléments
égaux). Comme les transvections de TU(n, K) correspondent à 1 ::;;; i < j ::;;; n, on trouve que
le centre est formé des matrices de la forme :
1
0
0
b
0
1
0
0
0 0
1
0
0
0
Le centre est alors isomorphe à K (groupe additif). Dans le cas n = 2, le groupe TU(2, K) est
isomorphe au groupe additif K, commutatif. Si n = 3, on peut étudier le quotient par le centre
en considérant le morphisme :
c:p(M ) = (m12 , m23)
On vérifie immédiatement que c'est un morphisme, son noyau est exactement le centre.
Donc:
TU(2, K)/ Z(TU(2, K)) '?:! K x K
5.1.5 L'existence de Z 2 provient tout simplement du théorème de correspondance. Il est
l'image réciproque par le morphisme projection du centre du groupe G/Z 1 • C'est l'image
réciproque d'un sous-groupe caractéristique, et c'est donc lui-même un sous-groupe caractéristique de G. On a également :
p(Zi) = Zif Z1 = Z(G/Zi) et Z1
morphisme surjectif. La seconde provient de ce que Z 1 est normal dans G tout entier.
On peut itérer et obtenir ainsi une suite croissante de sous-groupes. Dans le cas d'un groupe
diédral ID>211, avec n impair, le centre est réduit au neutre, et donc la suite est stationnaire
égal à { e}. Si n = 2m, le centre est { e, r
111
} et le quotient est isomorphe à ID>2111 • Si donc
m = 2p + 1, Z2 = Z1 et la suite est stationnaire. Si, au contraire, m = 2p, on trouve, en
utilisant l'isomorphisme, que Z 2 = { e, rP, r
2 P , r
3 P } et ainsi de suite. La longueur de la suite
dépend de l'exposant de 2 dans la décomposition de n.
Enfin, a E Z2 , pour tout b de G, abZ1 = baZ1 qui donne bien Vb E G, [a, b] E Z 1 . On peut
bien sûr itérer cette caractérisation.
5.1.2 Le groupe dérivé
Commençons par quelques résultats techniques sur les commutateurs.
Exercice 5.1.6
Démontrer que le conjugué d'un commutateur est un commutateur. En déduire que le groupe
dérivé de G est normal dans G. Est-il caractéristique dans G?
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5.1.4 Le plus simple, et le plus fastidieux, est de faire le calcul avec les matrices de transvections. Le centralisateur d'une transvection T ij = I +E ij est formé des matrices dont la ligne
j et la colonne i sont nulles (sauf éventuellement sur la diagonale où il y a deux éléments
égaux). Comme les transvections de TU(n, K) correspondent à 1 ::;;; i < j ::;;; n, on trouve que
le centre est formé des matrices de la forme :
1
0
0
b
0
1
0
0
0 0
1
0
0
0
Le centre est alors isomorphe à K (groupe additif). Dans le cas n = 2, le groupe TU(2, K) est
isomorphe au groupe additif K, commutatif. Si n = 3, on peut étudier le quotient par le centre
en considérant le morphisme :
c:p(M ) = (m12 , m23)
On vérifie immédiatement que c'est un morphisme, son noyau est exactement le centre.
Donc:
TU(2, K)/ Z(TU(2, K)) '?:! K x K
5.1.5 L'existence de Z 2 provient tout simplement du théorème de correspondance. Il est
l'image réciproque par le morphisme projection du centre du groupe G/Z 1 • C'est l'image
réciproque d'un sous-groupe caractéristique, et c'est donc lui-même un sous-groupe caractéristique de G. On a également :
p(Zi) = Zif Z1 = Z(G/Zi) et Z1
morphisme surjectif. La seconde provient de ce que Z 1 est normal dans G tout entier.
On peut itérer et obtenir ainsi une suite croissante de sous-groupes. Dans le cas d'un groupe
diédral ID>211, avec n impair, le centre est réduit au neutre, et donc la suite est stationnaire
égal à { e}. Si n = 2m, le centre est { e, r
111
} et le quotient est isomorphe à ID>2111 • Si donc
m = 2p + 1, Z2 = Z1 et la suite est stationnaire. Si, au contraire, m = 2p, on trouve, en
utilisant l'isomorphisme, que Z 2 = { e, rP, r
2 P , r
3 P } et ainsi de suite. La longueur de la suite
dépend de l'exposant de 2 dans la décomposition de n.
Enfin, a E Z2 , pour tout b de G, abZ1 = baZ1 qui donne bien Vb E G, [a, b] E Z 1 . On peut
bien sûr itérer cette caractérisation.
5.1.2 Le groupe dérivé
Commençons par quelques résultats techniques sur les commutateurs.
Exercice 5.1.6
Démontrer que le conjugué d'un commutateur est un commutateur. En déduire que le groupe
dérivé de G est normal dans G. Est-il caractéristique dans G?
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