5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
2) Si xy = z, alors
et x et y commutent.
3) Si G = H x K, alors
(x, y)(x' , y') = (x' , y
1
)(x, y) {::::::: xx' = x' x et yy' = y' y
on en déduit
Z(H x K) = Z(H) x Z(K)
et ce résultat s'étend sans peine à un produit quelconque.
4) Si H = { e, z}, alors H
et donc z est dans le centre de G.
5.1.2 - Le centre du groupe diédral dépend de la parité de n. Écrivons en effet :
alors :
][}) 211 = (r, s I r'' = s
2
= 1, srs - 1 = ,1
)
cl s, I' s 1 = ,2k - 2 k ' , [r, r'] = 1, [ l' s, / ' ] = , - 2k'
137
un élément commute avec tous les autres ssi il est dans (r) et est d'ordre 2. Il faut donc
que n = 2m et le centre est alors Z(][J) 4111 ) = {1, r'" }. L'application lb
; � r
2k
b
i
est alors un
morphisme de ][})4111 dans (r
2
, b), qui est isomorphe au groupe diédral ][}) 2111 • On en conclut :
- Comme le centre des groupes symétriques (n ;;::: 3) est réduit au neutre,
S11/ Z( S11 ) = S "
- Le quotient de 1Hl 8 par son centre est isomorphe au groupe de Klein. Nous avons déjà traité
le cas plus général des groupes quaternioniques dans l'exercice 2.3.4.
5.1 .3 Supposons que G/ Z(G) soit cyclique, engendré par la ciasse de x. Alors, tout g de G
peut s'écrire g = xkz où z est dans le centre. Mais alors G est commutatif... En effet, avec les
notations précédentes,
gg' = xkd ' z' = xk
+k ' zz' = g' g
et donc le centre de G est G, et le quotient est trivial. La démonstration est la même dans le
cas d'une réunion croissante de groupes cycliques, car deux éléments de G / Z ( G) sont alors
dans un même groupe cyclique, et donc commutent. Comme Ql est la réunion croissante des
groupes monogènes (�), il ne peut être un G/ Z(G). Il en va de même pour ses quotients qui
sont, eux-mêmes, réunion croissante de groupes monogènes.
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2) Si xy = z, alors
et x et y commutent.
3) Si G = H x K, alors
(x, y)(x' , y') = (x' , y
1
)(x, y) {::::::: xx' = x' x et yy' = y' y
on en déduit
Z(H x K) = Z(H) x Z(K)
et ce résultat s'étend sans peine à un produit quelconque.
4) Si H = { e, z}, alors H
et donc z est dans le centre de G.
5.1.2 - Le centre du groupe diédral dépend de la parité de n. Écrivons en effet :
alors :
][}) 211 = (r, s I r'' = s
2
= 1, srs - 1 = ,1
)
cl s, I' s 1 = ,2k - 2 k ' , [r, r'] = 1, [ l' s, / ' ] = , - 2k'
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un élément commute avec tous les autres ssi il est dans (r) et est d'ordre 2. Il faut donc
que n = 2m et le centre est alors Z(][J) 4111 ) = {1, r'" }. L'application lb
; � r
2k
b
i
est alors un
morphisme de ][})4111 dans (r
2
, b), qui est isomorphe au groupe diédral ][}) 2111 • On en conclut :
- Comme le centre des groupes symétriques (n ;;::: 3) est réduit au neutre,
S11/ Z( S11 ) = S "
- Le quotient de 1Hl 8 par son centre est isomorphe au groupe de Klein. Nous avons déjà traité
le cas plus général des groupes quaternioniques dans l'exercice 2.3.4.
5.1 .3 Supposons que G/ Z(G) soit cyclique, engendré par la ciasse de x. Alors, tout g de G
peut s'écrire g = xkz où z est dans le centre. Mais alors G est commutatif... En effet, avec les
notations précédentes,
gg' = xkd ' z' = xk
+k ' zz' = g' g
et donc le centre de G est G, et le quotient est trivial. La démonstration est la même dans le
cas d'une réunion croissante de groupes cycliques, car deux éléments de G / Z ( G) sont alors
dans un même groupe cyclique, et donc commutent. Comme Ql est la réunion croissante des
groupes monogènes (�), il ne peut être un G/ Z(G). Il en va de même pour ses quotients qui
sont, eux-mêmes, réunion croissante de groupes monogènes.
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