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Théorie des groupes
Exercice 5.1.1
Quelques questions élémentaires.
1) Montrer que le centre de G est l'intersection des centralisateurs de tous les éléments de
G
I
.
2) Montrer que si xy est dans le centre de G, alors x et y commutent.
3) Caractériser le centre du produit direct de groupes.
4) Montrer qu'un sous-groupe d'ordre 2, et normal dans G, est inclus dans le centre.
Exercice 5.1.2
Déterminer G/ Z(G) lorsque Gest:
- le groupe diédral ID> 2 ,, ;
- le groupe symétrique S, , ;
- le groupe quatemionique lill 8 .
Exercice 5.1.3
Démontrer que G/Z(G) n'est jamais cyclique (ou monogène), ni réunion croissante de
groupes cycliques. En déduire que ni Q ni un de ses quotients ne peuvent être des G / Z(G).
Exercice 5.1 .4
Chercher le centre de TU(n, OC), groupe des matrices triangulaires supérieures à coefficients
diagonaux égaux à l. Déterminer le quotient par le centre dans le cas n = 2 et n = 3.
Enfin un premier essai pour étudier une généralisation du centre, essai qui sera repris à
la fin du chapitre.
Exercice 5.1.5
On pose Z 1 = Z(G). Montrer qu'on peut définir un sous-groupe Z 2 de G par:
Zi/Zi = Z(G/Zi )
et que ce groupe est normal, et même caractéristique dans G. Comment itérer cette construction? Que donne-t-elle dans le cas d'un groupe diédral? Vérifier que Z 2 peut être défini par:
a E Z2 {=:::::} Vb E G, [a, b] E Z 1
SOLUTIONS
5.1 .1 l) Si z est dans le centralisateur de x, alors zx = xz, et si z est dans tous les centralisateurs, il est dans le centre ... Une simple question de quantificateur.
1. Le centralisateur de x est 1 'ensemble des éléments du groupe qui commutent à x.
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