Chapitre 5
Groupe dérivé, groupes nilpotents,
groupes résolubles
5.1 CENTRE, GROUPE DÉRIVÉ
Après un chapitre consacré aux groupes commutatifs, revenons à des groupes quelconques ; la loi sera à nouveau notée multiplicativement. Il y a plusieurs façons de mesurer la non-commutativité d'un groupe G. Comme nous l'avons déjà vu dans les premiers
chapitres, on peut utiliser le centre de G, ensemble des éléments de G qui commutent à
tous les autres. Plus il est grand, plus G est proche d'un groupe commutatif. Rappelons
un résultat important sur le centre, le centre d'un p-groupe n'est jamais trivial, cf. 3.1.15.
Il est également possible d'introduire ce qu'on appelle le groupe dérivé défini ainsi :
On note [x, y] = .xyx1
y- • , le commutateur de x et y; il est égal à 1 ssi x et y commutent.
On appelle groupe dérivé de G le groupe engendré par les commutateurs et on le note
G'. Plus il est petit, plus G est proche d'un groupe commutatif.
Revenons pour commencer sur le centre, en complément du premier problème du chapitre 2.
5.1.1 Quotient par le centre
Le centre de G, noté Z(G) en est un sous-groupe normal. Le quotient G / Z(G) est réduit
à 1 ssi G est commutatif. D'une certaine façon, dans ce quotient, la commutativité de
G est mise à zéro. Comme le centre est un sous-groupe normal de G, le quotient est
un groupe, et il arrive parfois que ce soit un groupe simple. C'est le cas des groupes
PSL(n, IF q }, quotient des SL(n, IF q ) par leur centre, qui sont simples le plus souvent (cf.
le problème du dernier chapitre). La dernière question du problème 1.3.1 montre que
G/Z(G) est isomorphe au groupe des automorphismes intérieurs de G, ce qui justifie
aussi son intérêt.
www.bibliomath.com
Groupe dérivé, groupes nilpotents,
groupes résolubles
5.1 CENTRE, GROUPE DÉRIVÉ
Après un chapitre consacré aux groupes commutatifs, revenons à des groupes quelconques ; la loi sera à nouveau notée multiplicativement. Il y a plusieurs façons de mesurer la non-commutativité d'un groupe G. Comme nous l'avons déjà vu dans les premiers
chapitres, on peut utiliser le centre de G, ensemble des éléments de G qui commutent à
tous les autres. Plus il est grand, plus G est proche d'un groupe commutatif. Rappelons
un résultat important sur le centre, le centre d'un p-groupe n'est jamais trivial, cf. 3.1.15.
Il est également possible d'introduire ce qu'on appelle le groupe dérivé défini ainsi :
On note [x, y] = .xyx1
y- • , le commutateur de x et y; il est égal à 1 ssi x et y commutent.
On appelle groupe dérivé de G le groupe engendré par les commutateurs et on le note
G'. Plus il est petit, plus G est proche d'un groupe commutatif.
Revenons pour commencer sur le centre, en complément du premier problème du chapitre 2.
5.1.1 Quotient par le centre
Le centre de G, noté Z(G) en est un sous-groupe normal. Le quotient G / Z(G) est réduit
à 1 ssi G est commutatif. D'une certaine façon, dans ce quotient, la commutativité de
G est mise à zéro. Comme le centre est un sous-groupe normal de G, le quotient est
un groupe, et il arrive parfois que ce soit un groupe simple. C'est le cas des groupes
PSL(n, IF q }, quotient des SL(n, IF q ) par leur centre, qui sont simples le plus souvent (cf.
le problème du dernier chapitre). La dernière question du problème 1.3.1 montre que
G/Z(G) est isomorphe au groupe des automorphismes intérieurs de G, ce qui justifie
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