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Théorie des groupes
c) Étudier le cas où H est engendré par un seul élément !1 . On montrera qu'il existe une
matrice adaptée de la forme :
d
0
M = 0
0
où d est le pgcd des coordonnées de J1 dans la base initiale. À quel groupe est isomorphe Z" /H? Que dire dans le cas où d = 1 ?
d) Montrer que, dans le cas général, il existe une matrice adaptée à H de la forme :
( � � ) où D=
d1 0
0
0
0 d2 0
0
0
où d 1 ld2 1 .. , ld k et où dans la première écriture, 0 représente des matrices nulles. On
raisonnera par récurrence sur le nombre de colonnes, et l'on commencera par obtenir
une matrice adaptée dont la première colonne est :
0
où m 1 est le pgcd des éléments de la première colonne de la matrice initiale, puis une
matrice adaptée de la forme :
où les * désignent des entiers quelconques.
e) Trouver alors la décomposition du groupe abélien de type fini Z" /H.
f) Traiter les exemples suivants :
i. H 1 est le sous-groupe de Z
3
engendré par :
!1 = 2e1 - 2e2 ; h = 4e 1 + 2e2 + 6e3 ; f3 = 6e1 + 4e2 + 12e3
ii. H2 est le sous-groupe de Z
3
engendré par :
!1 = l 2e 1 + 13e2 + 6e3 ; h = 4e 1 + 6e2 + 2e3 ; 13 = 4e 1 + 5e2 + 2e3
g) Montrer que le groupe G /H est fini ssi il existe une matrice adaptée qui est carrée et
de déterminant non nul.
h) Montrer alors que le cardinal de G /H est égal à ce déterminant.
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