4 • Groupes commut atifs
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c) Des exemples de groupes commutatifs infinis.
• Soit G 1 le groupe abélien engendré par les générateurs xo , x, , ... , x,, , ... et les
relations :
pxo = 0, p
2 x, = 0, ... , p
11+1 x,, = 0, ...
• Soit G 2 le groupe abélien engendré par les générateurs x0 , x1 , ... , x,, , ... et les
relations :
pxo = 0, px, = xo , p
2
x 2 = xo , ... , p"x,, = xo , ...
• Soit G 3 le groupe abélien engendré par les générateurs x0 , x1 , ... , x,, , ... et les
relations :
2) Cas fini
pxo = 0, px, = xo , px2 = x, , ... , px,,+1 = x,, , ...
i. On note S, , S 2 , S 3 les groupes engendrés par les relations de G,, G2 et G 3 .
Comparer ces trois sous-groupes au sens de l'inclusion. Qu'en déduit-on
pour les groupes G,, G 2 et G 3 ?
ii. Reconnaître le groupe G 1 •
iii. Reconnaître le groupe G 3 .
On veut maintenant étudier de façon systématique les groupes abéliens définis par un
nombre fini de générateurs et par un nombre fini de relations.
a) Montrer qu'un tel groupe est isomorphe à un quotient de Z" par un des ses sousgroupes H.
b) On suppose que (e;); =1. . 11 est une base de Z" et que ([j) j =t ..,· est un système générateur
de H ; si l'on note M la matrice à n lignes et p colonnes définie par :
Il
M = (mij) avecfi = L miie; pour tout j
i= I
on dit que M est une matrice adaptée à H. Si l'on change de base et/ou de système
générateur, on obtient une autre matrice adaptée à H.
Montrer que les opérations suivantes transforment une matrice adaptée en une autre
matrice adaptée.
- L'échange de deux lignes, de deux colonnes.
- Le remplacement d'une ligne L; par elle-même additionnée de aL j , où L i est une
autre ligne et a un entier.
- La même opération sur les colonnes.
- La multiplication d'une ligne (d'une colonne) par -1.
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