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Théorie des groupes
la propriété de projectivité au cas f = idG, on dispose d'un morphisme J tel que p o J = idG .
On en déduit que p est injectif, et donc que G est isomorphe à L et est libre.
La réciproque est plus simple ; avec les notations de l'énoncé, si G est de base (e; ), on
définit ] en posant ](e;) = h; où h; est un antécédent par µ de f(e; ). Cela définit bien un
morphisme de L dans H, par la propriété universelle des groupes libres, et ce morphisme
répond bien à la condition imposée.
4.3.6 1) Un élément de G sera noté (xp) où l'indice p parcourt l'ensemble P des nombres
premiers et X p E Z/p. Il sera d'ordre fini s'il existe n tel que :
Vp E P, nx µ =0
Il est donc nécessaire que si p f n, alors X p = O. Un élément d'ordre fini a ses coordonnées
presque toutes nulles, et est donc dans la somme directe G. Réciproquement, un tel élément
est d'ordre fini, en prenant pour n le produit des p tels que X p -:/ O. On a donc trouvé le
sous-groupe de torsion de G.
2) Pour montrer que G/G est divisible, on doit résoudre n(x + G) = g + G soit nx - g E G.
Mais si p f n, alors n est inversible modulo p, et l'on peut trouver X p tel que nx p - g p = 0,
en prenant X p quelconque pour pin, on obtient nx - g E G.
3) G n'est pas facteur direct dans G, sinon, il aurait un supplémentaire qui serait divisible (car
isomorphe à G/G). Mais cela est impossible, si g est un élément non nul de ce groupe,
alors il existe p tel que g p -:/ 0 et l'équation px = g ne peut avoir de solution.
4.4 PROBLÈMES
4.4.1 Groupes commutatifs définis par générateurs et relations
L' objectif de ce problème est d'étudier les groupes définis de la manière suivante :
G=(X I S)
où X est un ensemble de générateurs, S un ensemble de relations qui contient toutes les relations de la forme x + y =y+ x pour x et y distincts dans X. On notera alors la loi additivement,
et l'on écrira :
G = grab(X I S')
où, dans S' , on omet toutes les relations x + y = y + x.
1) Premiers exemples
Commençons à étudier des exemples de groupes commutatifs ayant un nombre infini de
générateurs, groupes qui se ressemblent beaucoup mais sont différents.
a) Dire pourquoi un tel groupe est commutatif. Pourquoi tout groupe commutatif peut
il être décrit ainsi ?
b) Reconnaître
G = grab(a 1 ), L = grab(a l 5a = 0), K = grab(a, b l 5a = 0, 1b = O)
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Théorie des groupes
la propriété de projectivité au cas f = idG, on dispose d'un morphisme J tel que p o J = idG .
On en déduit que p est injectif, et donc que G est isomorphe à L et est libre.
La réciproque est plus simple ; avec les notations de l'énoncé, si G est de base (e; ), on
définit ] en posant ](e;) = h; où h; est un antécédent par µ de f(e; ). Cela définit bien un
morphisme de L dans H, par la propriété universelle des groupes libres, et ce morphisme
répond bien à la condition imposée.
4.3.6 1) Un élément de G sera noté (xp) où l'indice p parcourt l'ensemble P des nombres
premiers et X p E Z/p. Il sera d'ordre fini s'il existe n tel que :
Vp E P, nx µ =0
Il est donc nécessaire que si p f n, alors X p = O. Un élément d'ordre fini a ses coordonnées
presque toutes nulles, et est donc dans la somme directe G. Réciproquement, un tel élément
est d'ordre fini, en prenant pour n le produit des p tels que X p -:/ O. On a donc trouvé le
sous-groupe de torsion de G.
2) Pour montrer que G/G est divisible, on doit résoudre n(x + G) = g + G soit nx - g E G.
Mais si p f n, alors n est inversible modulo p, et l'on peut trouver X p tel que nx p - g p = 0,
en prenant X p quelconque pour pin, on obtient nx - g E G.
3) G n'est pas facteur direct dans G, sinon, il aurait un supplémentaire qui serait divisible (car
isomorphe à G/G). Mais cela est impossible, si g est un élément non nul de ce groupe,
alors il existe p tel que g p -:/ 0 et l'équation px = g ne peut avoir de solution.
4.4 PROBLÈMES
4.4.1 Groupes commutatifs définis par générateurs et relations
L' objectif de ce problème est d'étudier les groupes définis de la manière suivante :
G=(X I S)
où X est un ensemble de générateurs, S un ensemble de relations qui contient toutes les relations de la forme x + y =y+ x pour x et y distincts dans X. On notera alors la loi additivement,
et l'on écrira :
G = grab(X I S')
où, dans S' , on omet toutes les relations x + y = y + x.
1) Premiers exemples
Commençons à étudier des exemples de groupes commutatifs ayant un nombre infini de
générateurs, groupes qui se ressemblent beaucoup mais sont différents.
a) Dire pourquoi un tel groupe est commutatif. Pourquoi tout groupe commutatif peut
il être décrit ainsi ?
b) Reconnaître
G = grab(a 1 ), L = grab(a l 5a = 0), K = grab(a, b l 5a = 0, 1b = O)
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