4 • Groupes commutatifs
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On a donc pg = n + m où n E M et m E M. Comme N est divisible, on peut écrire n = pn'
où n' EN et si l'on pose g' = g - n' , on apg' = m. Mai s g' f/. N EB M (sinon g serait dans
cette somme) et donc N rencontre le groupe engendré par g' et Men un élément non nul. Il
existe n" E N tel que n" = kg' + m' où k est forcément non nul et plus petit stri ctement que p,
donc est premier avec p. On dispose alors de pg' et kg' qui sont dans N EB M; mai s alors une
relatio n de Bezout donne g' E N EB M, ce qui est absurde.
4.3.4 Soi t G un groupe divisible.
• Si g est un élément d'ordre in fini, alors G contie nt un sous-groupe is omorphe à Q. En
effet, il contie nt des éléments 811 tels que :
g, = g, 2g 2 = g ,' 3g3 = 82, 4g4 = g3 ...
et si H est le sous-groupe engendré par les g;, on peut montrer, à l'aide de présentatio ns,
qu'i l est is omorphe à Q. Contentons-nous de véri fier qu'i l est sans torsion (sinon g serait
d'ordre fini), et qu'i l est donc un Q-espace vectorie l, donc somme directe d'exemplair es
de (Q.
• Sig est un élément d'ordre fini n, on peut, en le divisant par un facteur premier de n,
obtenir un élément d'ordre premier p, alors G contie nt un sous-groupe is omorphe à lU µ =·
En effet, il contie nt des éléments g 11 tels que :
pg, = 0, pg2 = g , , pg3 = 82 ...
et cette fois, on obti ent un groupe is omorphe à 1U µ= . On peut alors montrer ( en util i sant une
· récurrence « transfinie ») que G est somme directe de ces deux types de groupes divisibles.
4.3.5 1) Montrons que tout groupe in jectif est divisible. On prend pour morphisme in jectif
µ, la multipli cation par n de Z dans Z, et l'on définit un morphisme f de Z dans G en
posant/(1 ) = g. Alors ce morphisme se prolonge en un morphi sme! de sorte que :
g = /(1 ) = l o µ,(1 ) = f(n) = nf (l)
et, donc, le groupe est divisible.
Pour la réci proque, id enti fions H à un sous-groupe de K et consi dérons un prolongement
maximal de f à un sous-groupe S tel que H � S � K
1
• On note J ce prolongement et l'on
va montrer que S =K par l'absurde. Si x E K \ S, il y a deux possi bilités :
• soi t Sn (x) = {O} , alors on peut prolonger! à S' = S EB (x) en posantf(x) = 0, et cela
contredit la maximalité ;
• sinon, soi t k entier posi tif minimum tel que kx E S. Comme G est divisible, l'i mage
f(kx) peut être divisée par k, et soi t g une solutio n. Tout élément de S' s'écrit de façon
uni que comme somme d'un élément de Setdef.xpour O � e < k,etl'on peut prolonger
J au sous-groupe S' = (S, x) en posant :
f(s + lx) = f(s) + ig
ce qui contredit aussi la maximali té.
2) Supposons que G soit projectif. Alors comme tout groupe commutatif il est quotie nt d'un
groupe libre L, et l'on dispose d'un morphis me p surjectif de L dans G. Mai s en appli quant
l. Existence encore assurée par le théorème de Zorn.
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On a donc pg = n + m où n E M et m E M. Comme N est divisible, on peut écrire n = pn'
où n' EN et si l'on pose g' = g - n' , on apg' = m. Mai s g' f/. N EB M (sinon g serait dans
cette somme) et donc N rencontre le groupe engendré par g' et Men un élément non nul. Il
existe n" E N tel que n" = kg' + m' où k est forcément non nul et plus petit stri ctement que p,
donc est premier avec p. On dispose alors de pg' et kg' qui sont dans N EB M; mai s alors une
relatio n de Bezout donne g' E N EB M, ce qui est absurde.
4.3.4 Soi t G un groupe divisible.
• Si g est un élément d'ordre in fini, alors G contie nt un sous-groupe is omorphe à Q. En
effet, il contie nt des éléments 811 tels que :
g, = g, 2g 2 = g ,' 3g3 = 82, 4g4 = g3 ...
et si H est le sous-groupe engendré par les g;, on peut montrer, à l'aide de présentatio ns,
qu'i l est is omorphe à Q. Contentons-nous de véri fier qu'i l est sans torsion (sinon g serait
d'ordre fini), et qu'i l est donc un Q-espace vectorie l, donc somme directe d'exemplair es
de (Q.
• Sig est un élément d'ordre fini n, on peut, en le divisant par un facteur premier de n,
obtenir un élément d'ordre premier p, alors G contie nt un sous-groupe is omorphe à lU µ =·
En effet, il contie nt des éléments g 11 tels que :
pg, = 0, pg2 = g , , pg3 = 82 ...
et cette fois, on obti ent un groupe is omorphe à 1U µ= . On peut alors montrer ( en util i sant une
· récurrence « transfinie ») que G est somme directe de ces deux types de groupes divisibles.
4.3.5 1) Montrons que tout groupe in jectif est divisible. On prend pour morphisme in jectif
µ, la multipli cation par n de Z dans Z, et l'on définit un morphisme f de Z dans G en
posant/(1 ) = g. Alors ce morphisme se prolonge en un morphi sme! de sorte que :
g = /(1 ) = l o µ,(1 ) = f(n) = nf (l)
et, donc, le groupe est divisible.
Pour la réci proque, id enti fions H à un sous-groupe de K et consi dérons un prolongement
maximal de f à un sous-groupe S tel que H � S � K
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• On note J ce prolongement et l'on
va montrer que S =K par l'absurde. Si x E K \ S, il y a deux possi bilités :
• soi t Sn (x) = {O} , alors on peut prolonger! à S' = S EB (x) en posantf(x) = 0, et cela
contredit la maximalité ;
• sinon, soi t k entier posi tif minimum tel que kx E S. Comme G est divisible, l'i mage
f(kx) peut être divisée par k, et soi t g une solutio n. Tout élément de S' s'écrit de façon
uni que comme somme d'un élément de Setdef.xpour O � e < k,etl'on peut prolonger
J au sous-groupe S' = (S, x) en posant :
f(s + lx) = f(s) + ig
ce qui contredit aussi la maximali té.
2) Supposons que G soit projectif. Alors comme tout groupe commutatif il est quotie nt d'un
groupe libre L, et l'on dispose d'un morphis me p surjectif de L dans G. Mai s en appli quant
l. Existence encore assurée par le théorème de Zorn.
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