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Théorie des groupes
Exercice 4.3.6
Soit G le produit direct des Z/p pour tous les premiers p, et soit G la somme directe de ces
mêmes groupes, considérée comme sous-groupe de G.
1) Montrer que G est le sous-groupe de torsion de G.
2) Montrer que le quotient G/G est divisible.
3) Montrer que le sous-groupe de torsion de G n'est pas facteur direct de G.
SOLUTIONS
4.3.1 1) Q est divisible, l'équation nx = � a pour solution x = ;q, IR! est divisible car tout
réel positif admet une racine n-ième, cela se montre par l'analyse, en étudiant la fonction
réciproque de la fonction puissance. Enfin un complexe non nul admet n racines n-ièmes,
c'est un cas particulier du théorème de d'Alembert-Gauss. Pour le groupe de Prüfer, il
2ihr
faut un peu de calcul. Soit à résoudre x' = e 7. Posons n = P' s où s est premier à p. Les
solutions sont alors les complexes :
p/
2
1;:, , (k+l/1')
Xe = e s
où f, est entier. Une de ces racines sera dans le groupe de Prüfer s'il existe f, tel que
k + f
p
111
= 0 (mod s). Or cela est possible car p
m
est inversible modulo s. Le calcul fait
peut être clarifié en prenant des exemples, dans l[J i . '° , on cherchera une solution de x
6
= i.
2) Si G est divisible et H un sous-groupe, alors n(x + H) = g + H équivaut à nx - g E H, et
l'on peut toujours trouver x qui convienne puisque G est divisible.
3) Il suffit par exemple de considérer le sous-groupe Z de Q, qui n'est pas divisible. La
situation est un peu plus riche pour le sous-groupe li)) des décimaux, qui n'est pas divisible,
3x = 1 n'a pas de solution, mais pour certaines valeurs de n comme 2 et 5 il y a toujours
une solution.
4.3.2 Soit L un groupe abélien libre. On note (e;);e 1 une base et
L=EE)Qe;
iE/
Alors L est un sous-groupe de L qui est divisible. Comme tout groupe commutatif G est
quotient d'un groupe abélien libre, il est isomorphe par le théorème de correspondance à un
sous-groupe d'un quotient de L qui est divisible.
4.3.3 Soit N un sous-groupe divisible d'un groupe G. Considérons un sous-groupe M
maximal parmi ceux vérifiant N n M = { 0}
1 et supposons que la somme directe N EB M ne
soit pas G. Appelons g un élément de G \ (N EB M). Alors (g) rencontre N EB M ailleurs qu'en
0, sinon M + (g) contredit la maximalité de M. Soit alors p le plus petit entier positif tel que
pg E N EB M (le nombre p peut être choisi premier, s'il ne l'était pas, il suffirait de remplacer
g par g 1 = �g où q serait un diviseur premier de p).
1. L'existence de ce sous-groupe est assurée par le théorème de Zorn.
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Théorie des groupes
Exercice 4.3.6
Soit G le produit direct des Z/p pour tous les premiers p, et soit G la somme directe de ces
mêmes groupes, considérée comme sous-groupe de G.
1) Montrer que G est le sous-groupe de torsion de G.
2) Montrer que le quotient G/G est divisible.
3) Montrer que le sous-groupe de torsion de G n'est pas facteur direct de G.
SOLUTIONS
4.3.1 1) Q est divisible, l'équation nx = � a pour solution x = ;q, IR! est divisible car tout
réel positif admet une racine n-ième, cela se montre par l'analyse, en étudiant la fonction
réciproque de la fonction puissance. Enfin un complexe non nul admet n racines n-ièmes,
c'est un cas particulier du théorème de d'Alembert-Gauss. Pour le groupe de Prüfer, il
2ihr
faut un peu de calcul. Soit à résoudre x' = e 7. Posons n = P' s où s est premier à p. Les
solutions sont alors les complexes :
p/
2
1;:, , (k+l/1')
Xe = e s
où f, est entier. Une de ces racines sera dans le groupe de Prüfer s'il existe f, tel que
k + f
p
111
= 0 (mod s). Or cela est possible car p
m
est inversible modulo s. Le calcul fait
peut être clarifié en prenant des exemples, dans l[J i . '° , on cherchera une solution de x
6
= i.
2) Si G est divisible et H un sous-groupe, alors n(x + H) = g + H équivaut à nx - g E H, et
l'on peut toujours trouver x qui convienne puisque G est divisible.
3) Il suffit par exemple de considérer le sous-groupe Z de Q, qui n'est pas divisible. La
situation est un peu plus riche pour le sous-groupe li)) des décimaux, qui n'est pas divisible,
3x = 1 n'a pas de solution, mais pour certaines valeurs de n comme 2 et 5 il y a toujours
une solution.
4.3.2 Soit L un groupe abélien libre. On note (e;);e 1 une base et
L=EE)Qe;
iE/
Alors L est un sous-groupe de L qui est divisible. Comme tout groupe commutatif G est
quotient d'un groupe abélien libre, il est isomorphe par le théorème de correspondance à un
sous-groupe d'un quotient de L qui est divisible.
4.3.3 Soit N un sous-groupe divisible d'un groupe G. Considérons un sous-groupe M
maximal parmi ceux vérifiant N n M = { 0}
1 et supposons que la somme directe N EB M ne
soit pas G. Appelons g un élément de G \ (N EB M). Alors (g) rencontre N EB M ailleurs qu'en
0, sinon M + (g) contredit la maximalité de M. Soit alors p le plus petit entier positif tel que
pg E N EB M (le nombre p peut être choisi premier, s'il ne l'était pas, il suffirait de remplacer
g par g 1 = �g où q serait un diviseur premier de p).
1. L'existence de ce sous-groupe est assurée par le théorème de Zorn.
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