4 • Groupes commut atifs
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Exercice 4.3.2
Montrer que tout groupe commutatif est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe divisible.
On pourra commencer par les groupes libres.
Exercice 4.3.3
Montrer qu'un sous-groupe divisible d'un groupe commutatif G est toujours facteur direct de
G. On pourra s'inspirer de l'exercice 4. 1 .6.
Il est possible de donner la structure des groupes divisibles.
Exercice 4.3.4
Montrer qu'un groupe divisible est somme directe de groupes isomorphes à Q ou à un pgroupe de Prüfer. On cherchera surtout à étudier ce que donnent les éléments d'ordre infini et
ceux d'ordre fini.
Encore une comparaison qui fait appel à la notion de groupe injectif et de groupe projectif.
Exercice 4.3.5
1) Un groupe commutatif G est injectif s'il a la propriété suivante : pour chaque injection
µ : H -+ K entre groupes commutatifs, si l'on se donne un morphisme f de H vers G, il
se prolonge en un morphisme J de K vers G
0 - H ___ µ __ - K
� > /
;
/
Montrer qu'un groupe commutatif G est injectif ssi il est divisible. Pour la réciproque, il
convient d'utiliser une méthode proche de celle de l'exercice 4.3.3.
2) Un groupe commutatif G est projectif s'il a la propriété suivante, pour chaque surjection
µ : H -+ K entre groupes commutatifs, si l'on se donne un morphisme f de G vers K, il
existe un morphisme J de G vers H tel que µ o J = f :
Montrer qu'un groupe commutatif G est projectif ssi il est libre.
Enfin, pour en terminer avec les groupes commutatifs infinis, un exercice qui étudie un
groupe infini indexé par les nombres premiers.
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