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Théorie des groupes
alors on vérifie aisément que H est un sous-groupe (qui contient ( e 1 ) ). Intuitivement, ce
sont les éléments de G qui sont « colinéaires » à e1 . On voit également que G /H est sans
torsion, si k(g + H) = H, c'est que kg E H et donc g E H. C'est cette propriété qui nous
a fait choisir H plutôt que ( e 1 ) pour la récurrence. On voit maintenant en effet que G/H
étant engendré par e2 + H, ... , e , , + H est libre par hypothèse de récurrence. Et l'exercice
4.2.8 nous permet de dire que H est facteur direct de G. On a donc:
G= H EB M
où M est libre puisqu'isomorphe à G/H. On va montrer que H est également libre. Pour
commencer, il est de type fini, car sous-groupe d'un groupe de type fini, et, par la définition
même de H, le quotient H/ ( e 1) est de torsion; étant de type fini il est fini, d'ordre, par
exemple, k. On en déduit que si h E H, alors kh E ( e 1 ), et H s'injecte dans kH qui
s'injecte dans ( e 1 ) lui-même isomorphe à Z ... H est isomorphe à un sous-groupe de Z,
donc est libre. On peut aussi avoir une vision plus géométrique, en considérant H comme
un sous-groupe de type fini d'une« droite» dans un Q-espace vectoriel, et les sous-groupes
de type fini de Q sont isomorphes à Z.
4.3 GROUPES DIVISIBLES
Dans ce paragraphe, nous allons étudier quelques propriétés des groupes commutatifs
qui ne sont pas de type fini. Pour commencer, regardons les groupes divisibles ; cette
notion est aussi importante que celle de groupe libre, et en est, en quelque sorte, la « symétrique».
Exercice 4.3.1
Un groupe commutatif G est divisible si
Vg E G, \ln E N*, 3x E G, nx = g
Le mot divisible se comprend, on peut diviser tout élément de G par n'importe quel entier.
En notation multiplicative, on dira que tout élément admet (au moins) une racine n-ième.
1) Montrer que les groupes suivants sont divisibles :
((Q ,+), (IR:, x) , (C* ,x ), (lU p oo,X )
2) Montrer que le quotient d'un groupe divisible par un sous-groupe est divisible.
3) Montrer, par des exemples, que les sous-groupes d'un groupe divisible ne sont pas toujours
divisibles.
Les deux dernières questions de l'exercice précédent montrent l'analogie avec les
groupes libres, en échangeant quotient et sous-groupe. Les exercices suivants continuent
la comparaison.
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Théorie des groupes
alors on vérifie aisément que H est un sous-groupe (qui contient ( e 1 ) ). Intuitivement, ce
sont les éléments de G qui sont « colinéaires » à e1 . On voit également que G /H est sans
torsion, si k(g + H) = H, c'est que kg E H et donc g E H. C'est cette propriété qui nous
a fait choisir H plutôt que ( e 1 ) pour la récurrence. On voit maintenant en effet que G/H
étant engendré par e2 + H, ... , e , , + H est libre par hypothèse de récurrence. Et l'exercice
4.2.8 nous permet de dire que H est facteur direct de G. On a donc:
G= H EB M
où M est libre puisqu'isomorphe à G/H. On va montrer que H est également libre. Pour
commencer, il est de type fini, car sous-groupe d'un groupe de type fini, et, par la définition
même de H, le quotient H/ ( e 1) est de torsion; étant de type fini il est fini, d'ordre, par
exemple, k. On en déduit que si h E H, alors kh E ( e 1 ), et H s'injecte dans kH qui
s'injecte dans ( e 1 ) lui-même isomorphe à Z ... H est isomorphe à un sous-groupe de Z,
donc est libre. On peut aussi avoir une vision plus géométrique, en considérant H comme
un sous-groupe de type fini d'une« droite» dans un Q-espace vectoriel, et les sous-groupes
de type fini de Q sont isomorphes à Z.
4.3 GROUPES DIVISIBLES
Dans ce paragraphe, nous allons étudier quelques propriétés des groupes commutatifs
qui ne sont pas de type fini. Pour commencer, regardons les groupes divisibles ; cette
notion est aussi importante que celle de groupe libre, et en est, en quelque sorte, la « symétrique».
Exercice 4.3.1
Un groupe commutatif G est divisible si
Vg E G, \ln E N*, 3x E G, nx = g
Le mot divisible se comprend, on peut diviser tout élément de G par n'importe quel entier.
En notation multiplicative, on dira que tout élément admet (au moins) une racine n-ième.
1) Montrer que les groupes suivants sont divisibles :
((Q ,+), (IR:, x) , (C* ,x ), (lU p oo,X )
2) Montrer que le quotient d'un groupe divisible par un sous-groupe est divisible.
3) Montrer, par des exemples, que les sous-groupes d'un groupe divisible ne sont pas toujours
divisibles.
Les deux dernières questions de l'exercice précédent montrent l'analogie avec les
groupes libres, en échangeant quotient et sous-groupe. Les exercices suivants continuent
la comparaison.
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