4 • Groupes commutatifs
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4.2.9 Commençons par le cas où G est de rang 1. Il est isomorphe à Z, tous ses sous-groupes
sont de la forme nZ et sont aussi de rang l (sauf si n = 0 où le rang est par convention nul).
Supposons que le théorème soit vrai pour tous les groupes libres de rang n, et supposons que
G soit de rang n + 1 ; posons
11+ !
Il
G = E9 Ze ; et G' = E9 Ze ;
i= I
i= I
Soit alors H un sous-groupe de G et H' = H n G' ; alors par hypothèse de récurrence H' est
libre de rang ::;; n. Le second théorème d'isomorphisme (en notation additive) permet aussi
d'écrire:
H/H' '?t H/H n G' '?t (H + G')/G' ::;; G/G' '?t Z
Donc H/H' est isomorphe à un sous-groupe de Z. Si c'est 0, alors H est isomorphe à H'
donc libre, sinon, H/H' est isomorphe à Z, libre donc H' est facteur direct de H (exercice
précédent). On peut écrire H = H' EB (h) car le supplémentaire est isomorphe au quotient donc
de rang un. H est donc libre de rang r + 1 ::;; n + 1.
Remarque : ce théorème de Dedekind reste vrai dans le cas d'un groupe libre commutatif quelconque (i.e. non de type fini) avec une démonstration de même style. Il
est vrai également pour un groupe libre quelconque, c'est le théorème de NielsenSchreier, de démonstration plus difficile. Il n'y a plus, alors, d'inégalité concernant le
nombre des générateurs du sous-groupe.
Le quotient d'un groupe libre par un de ses sous-groupes n'est pas libre (sauf cas
triviaux), voir Z/n mais aussi l'exercice qui suit.
4.2.10 1) On applique la propriété universelle des groupes libres. Si G est engendré par
X 1 ,x 2 , ••• ,X 11 , il existe un morphisme surjectif du groupe libre œ: ::- / Ze ; sur G, (dont le
noyau est un groupe libre par le théorème de Dedekind), il ne reste qu'à appliquer le
premier théorème d'isomorphisme pour obtenir que G est isomorphe au quotient d'un
groupe libre.
2) Avec les mêmes notations, si H est un sous-groupe de G, alors G/H est engendré par les
x; + H, donc est de type fini.
3) Soit G abélien de type fini; il est isomorphe à un quotient de groupes libres L/M de
type fini, et, par le théorème de correspondance, un sous-groupe de G est isomorphe à un
quotient de groupes libres de type fini M' /M où M ::;; M' ::;; L, ce sous-groupe de G est
donc de type fini.
4.2.1 1 1) C'est direct. Les éléments de G s'écrivent comme combinaison à coefficients
entiers des générateurs, et comme tous ces générateurs sont d'ordre fini, il y a un nombre
fini de combinaisons distinctes.
2) On procède par récurrence sur le nombre des générateurs. Supposons que G soit engendré
par un seul élément. Alors s'il est sans torsion, c'est que cet élément est d'ordre infini et G
est libre, isomorphe à Z. Si G est engendré par e 1 , e2 , •.• , e 11 , soit H le sous-groupe défini
par:
H = {x E G l 3 n E Z, nx E ( e 1 )}
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4.2.9 Commençons par le cas où G est de rang 1. Il est isomorphe à Z, tous ses sous-groupes
sont de la forme nZ et sont aussi de rang l (sauf si n = 0 où le rang est par convention nul).
Supposons que le théorème soit vrai pour tous les groupes libres de rang n, et supposons que
G soit de rang n + 1 ; posons
11+ !
Il
G = E9 Ze ; et G' = E9 Ze ;
i= I
i= I
Soit alors H un sous-groupe de G et H' = H n G' ; alors par hypothèse de récurrence H' est
libre de rang ::;; n. Le second théorème d'isomorphisme (en notation additive) permet aussi
d'écrire:
H/H' '?t H/H n G' '?t (H + G')/G' ::;; G/G' '?t Z
Donc H/H' est isomorphe à un sous-groupe de Z. Si c'est 0, alors H est isomorphe à H'
donc libre, sinon, H/H' est isomorphe à Z, libre donc H' est facteur direct de H (exercice
précédent). On peut écrire H = H' EB (h) car le supplémentaire est isomorphe au quotient donc
de rang un. H est donc libre de rang r + 1 ::;; n + 1.
Remarque : ce théorème de Dedekind reste vrai dans le cas d'un groupe libre commutatif quelconque (i.e. non de type fini) avec une démonstration de même style. Il
est vrai également pour un groupe libre quelconque, c'est le théorème de NielsenSchreier, de démonstration plus difficile. Il n'y a plus, alors, d'inégalité concernant le
nombre des générateurs du sous-groupe.
Le quotient d'un groupe libre par un de ses sous-groupes n'est pas libre (sauf cas
triviaux), voir Z/n mais aussi l'exercice qui suit.
4.2.10 1) On applique la propriété universelle des groupes libres. Si G est engendré par
X 1 ,x 2 , ••• ,X 11 , il existe un morphisme surjectif du groupe libre œ: ::- / Ze ; sur G, (dont le
noyau est un groupe libre par le théorème de Dedekind), il ne reste qu'à appliquer le
premier théorème d'isomorphisme pour obtenir que G est isomorphe au quotient d'un
groupe libre.
2) Avec les mêmes notations, si H est un sous-groupe de G, alors G/H est engendré par les
x; + H, donc est de type fini.
3) Soit G abélien de type fini; il est isomorphe à un quotient de groupes libres L/M de
type fini, et, par le théorème de correspondance, un sous-groupe de G est isomorphe à un
quotient de groupes libres de type fini M' /M où M ::;; M' ::;; L, ce sous-groupe de G est
donc de type fini.
4.2.1 1 1) C'est direct. Les éléments de G s'écrivent comme combinaison à coefficients
entiers des générateurs, et comme tous ces générateurs sont d'ordre fini, il y a un nombre
fini de combinaisons distinctes.
2) On procède par récurrence sur le nombre des générateurs. Supposons que G soit engendré
par un seul élément. Alors s'il est sans torsion, c'est que cet élément est d'ordre infini et G
est libre, isomorphe à Z. Si G est engendré par e 1 , e2 , •.• , e 11 , soit H le sous-groupe défini
par:
H = {x E G l 3 n E Z, nx E ( e 1 )}
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