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Théorie des groupes
4.2.5 C'est immédiat, si G est de type fini, il est engendré par un ensemble fini d'éléments
x1 , ... , x k , Si donc (y;);EI est une famille génératrice quelconque, il suffit d'écrire les x; en
fonctions d'éléments de la famille (y;);EI, ce qui ne fera apparaître qu'un nombre fini d'éléments de cette famille, et l'on récupère ainsi une sous-famille génératrice finie.
4.2.6 Il est nécessaire de poser f(x) = f(x) pour les éléments de X, et pour tout élément de
L ab (X), on aura :
J ( L xEX
xEX
où les immédiatement que c'est un morphisme.
4.2. 7 1) Si X est une base, il engendre G; l'exercice ci-dessus montre que si G est de type
fini, on peut extraire de X un sous-ensemble fini qui engendre encore G. Mais on garde
alors l'unicité de l'écriture et ce sous-ensemble fini est donc une base. En fait, X coïncide avec cet ensemble fini, puisque tout surensemble d'une base n'est plus une base (par
unicité de l'écriture). Ce raisonnement vaut pour toutes les bases qui sont donc finies.
2) Supposons que G soit libre de base (x 1 ,x2, ••• , x,, ). Alors
Il
et si p est un nombre premier
et l'on termine par l'unicité de la dimension d'un espace vectoriel, ou par l'unicité de la
décomposition d'un p-groupe fini. On a utilisé que, X étant une base :
Il
pG= E9 Zpx;
i= I
et pour l'isomorphisme l'exercice 4. 1.8.
4.2.8 Il s'agit de trouver une section, soit ( e ;);EI une base de L. Comme b est surjectif,
toute; a un antécédent g; dans G, et l'on peut poser s( e;) = g;. Mais alors, par la propriété
universelle des groupes libres, s se prolonge en un morphisme de L dans G et :
b o s(g) = b os (L x; e;) = L x; b(s( e;)) = g
i EI
i EI
montre bien que s est une section.
Si l'on applique ce résultat à la suite exacte
o-N___!:__,G�G/N-e
on voit que si G/N est libre, alors G est produit semi-direct (donc direct dans le cas commutatif) et N admet un supplémentaire.
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