4 • Groupes commutatifs
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• R* muni du produit a pour sous-groupe de torsion {-1, 1 }. Le quotient est R! . Pour le
montrer, on peut utiliser le morphisme donné par la valeur absolue.
• C* muni du produit a pour sous-groupe de torsion ll.J 00 • Pour identifier le quotient,
commençons par montrer l'isomorphisme :
Il résulte du morphisme
!!_ t---t e
2 ; 1r ;
q
qui est surjectif car tout élément de ll.J 00 s'écrit e
2i1r ; si c'est une racine q -ième de
l'unité. De plus, le noyau de ce morphisme est Z; il ne reste qu'à appliquer le premier
théorème d'isomorphisme. On peut alors montrer que :
en utilisant le morphisme
z t---t (lzl, arg(z)Q)
ou en utilisant le fait que l'ensemble des nombres complexes de module 1, ll.J, est isomorphe au groupe R/Z
1
•
• Z x Z/5 a pour éléments de torsion {O} x Z/5, et le quotient est isomorphe à Z.
4.2.3 Il n'y a aucune modification à faire dans la réponse à l'exercice 4. 1 .3. Le groupe de
torsion d'un groupe commutatif est somme directe des G[p]. Dans le cas où le groupe n'est
pas fini, il s'agit ici d'une somme directe pouvant porter sur un ensemble infini d'indices.
Pour ll.J 00 , un élément est dans ll.J 00 [p] ssi c'est une racine p
k
-ième de l'unité. L'ensemble
formé par ces éléments est donc le groupe que nous avons déjà rencontré dans un problème
du chapitre 2; le p-groupe de Prüfer, ll.J p oo, appelé aussi groupe quasi-cyclique. On en déduit
donc
4.2.4 1) G est engendré par (1, 0, 0, ... , 0), ... , (0, 0, ... , 1), il est donc de type fini. Pour
le moment, on ne peut affirmer que les générateurs décrits sont en nombre minimal.
2) Z est bien sûr de type fini, puisqu'il est monogène. Les groupes finis sont également de
type fini, puisqu'ils sont engendrés par leurs éléments, en nombre fini. Q n'est pas de type
fini. Vo ici un argument, si Q était engendré par un nombre fini d'éléments, ceux-ci auraient
un nombre fini de facteurs premiers dans leurs dénominateurs, et il en serait de même pour
tous les rationnels. Or l'ensemble des premiers est infini. On peut aussi, plus simplement,
regarder les rationnels de la forme da. Les autres groupes sont aussi de type infini ; il suffit
de le vérifier pour ll.J p oo qui est un sous-groupe du suivant, et il suffit encore de considérer
les éléments de la forme e' .
1. Au passage, notons l'isomorphisme 1l.J/1l.J 00 '?!! JR/Q '?!! IR, le dernier obtenu par la théorie des espaces
vectoriels.
www.bibliomath.com
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• R* muni du produit a pour sous-groupe de torsion {-1, 1 }. Le quotient est R! . Pour le
montrer, on peut utiliser le morphisme donné par la valeur absolue.
• C* muni du produit a pour sous-groupe de torsion ll.J 00 • Pour identifier le quotient,
commençons par montrer l'isomorphisme :
Il résulte du morphisme
!!_ t---t e
2 ; 1r ;
q
qui est surjectif car tout élément de ll.J 00 s'écrit e
2i1r ; si c'est une racine q -ième de
l'unité. De plus, le noyau de ce morphisme est Z; il ne reste qu'à appliquer le premier
théorème d'isomorphisme. On peut alors montrer que :
en utilisant le morphisme
z t---t (lzl, arg(z)Q)
ou en utilisant le fait que l'ensemble des nombres complexes de module 1, ll.J, est isomorphe au groupe R/Z
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• Z x Z/5 a pour éléments de torsion {O} x Z/5, et le quotient est isomorphe à Z.
4.2.3 Il n'y a aucune modification à faire dans la réponse à l'exercice 4. 1 .3. Le groupe de
torsion d'un groupe commutatif est somme directe des G[p]. Dans le cas où le groupe n'est
pas fini, il s'agit ici d'une somme directe pouvant porter sur un ensemble infini d'indices.
Pour ll.J 00 , un élément est dans ll.J 00 [p] ssi c'est une racine p
k
-ième de l'unité. L'ensemble
formé par ces éléments est donc le groupe que nous avons déjà rencontré dans un problème
du chapitre 2; le p-groupe de Prüfer, ll.J p oo, appelé aussi groupe quasi-cyclique. On en déduit
donc
4.2.4 1) G est engendré par (1, 0, 0, ... , 0), ... , (0, 0, ... , 1), il est donc de type fini. Pour
le moment, on ne peut affirmer que les générateurs décrits sont en nombre minimal.
2) Z est bien sûr de type fini, puisqu'il est monogène. Les groupes finis sont également de
type fini, puisqu'ils sont engendrés par leurs éléments, en nombre fini. Q n'est pas de type
fini. Vo ici un argument, si Q était engendré par un nombre fini d'éléments, ceux-ci auraient
un nombre fini de facteurs premiers dans leurs dénominateurs, et il en serait de même pour
tous les rationnels. Or l'ensemble des premiers est infini. On peut aussi, plus simplement,
regarder les rationnels de la forme da. Les autres groupes sont aussi de type infini ; il suffit
de le vérifier pour ll.J p oo qui est un sous-groupe du suivant, et il suffit encore de considérer
les éléments de la forme e' .
1. Au passage, notons l'isomorphisme 1l.J/1l.J 00 '?!! JR/Q '?!! IR, le dernier obtenu par la théorie des espaces
vectoriels.
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