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Théorie des groupes
Exercice 4.2.9 (Théorème de Dedekind)
Démontrer que si G est un groupe abélien libre de rang n, alors tout sous-groupe de G est
libre de rang r ::;; n. Le quotient est-il un groupe libre?
Exercice 4.2.10
1) Démontrer que si G est commutatif de type fini, alors G est isomorphe au quotient d'un
groupe commutatif libre de type fini par un de ses sous-groupes.
2) Démontrer que tout quotient d'un groupe commutatif de type fini est de type fini.
3) Démontrer que tout sous-groupe d'un groupe commutatif de type fini est de type fini.
Exercice 4.2.1 1
1) Démontrer que si un groupe commutatif est de type fini et de torsion, alors il est fini.
2) Démontrer que si un groupe commutatif est de type fini et sans torsion, alors il est libre.
Cette question est plus délicate. On pourra procéder par récurrence sur le nombre de générateurs.
SOLUTIONS
4. 2. 1 1) Tout élément x d'un groupe fini de cardinal n vérifie .x'' = e, et est donc d'ordre fini
(diviseur de n). Cela étant, il existe des groupes infinis dont tous les éléments sont d'ordre
fini; c'est le cas du groupe additif de toutes les suites à valeurs dans Z/2, dont tous les
éléments sont d'ordre 2. Nous l'avons rencontré dans l'exercice 1.1.8.
2) Les trois premiers groupes sont sans torsion, ils ne contiennent aucun élément d'ordre fini
à part O. Les éléments d'ordre fini de li* sont 1 et -1. Il est mixte, de même que (C*,
dont les éléments d'ordre fini sont les complexes qui sont racines de l'unité. On note leur
ensemble:
lU 00 = {z E C/ :ln E N*, t' = 1}
Le dernier groupe est mixte, les éléments de la forme (0, a) sont d'ordre fini, tous les autres
sont d'ordre infini.
4.2.2 1) Si nx = 0, my = 0, où n et m sont des entiers, alors mn(x + y) = 0 et m(-x) =
-mx = O. L'ensemble T des éléments d'ordre fini est donc un sous-groupe; si cl> est un
endomorphisme de G, ncp (x) = cp(nx) = O. C'est donc un sous-groupe (pleinement) caractéristique. En revanche, si G n'est pas commutatif, le produit de deux éléments d'ordre fini
n'est pas forcément d'ordre fini. Un exemple géométrique est bien connu, celui de deux
réflexions par rapport à des droites faisant entre elles un angle non commensurable à 'TT,
car le composé est alors une rotation d'ordre infini. Si l'ensemble des éléments d'ordre fini
est un groupe, il est caractéristique.
2) Soit g un élément du quotient G/T. Alors g est d'ordre fini ssi il existe k E N* tel que
kg = 0, donc kg E T; mais dire que kg est d'ordre fini implique que g est d'ordre fini,
g = e. Cela prouve que le groupe de torsion du quotient est trivial.
3) Regardons maintenant les exemples:
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Exercice 4.2.9 (Théorème de Dedekind)
Démontrer que si G est un groupe abélien libre de rang n, alors tout sous-groupe de G est
libre de rang r ::;; n. Le quotient est-il un groupe libre?
Exercice 4.2.10
1) Démontrer que si G est commutatif de type fini, alors G est isomorphe au quotient d'un
groupe commutatif libre de type fini par un de ses sous-groupes.
2) Démontrer que tout quotient d'un groupe commutatif de type fini est de type fini.
3) Démontrer que tout sous-groupe d'un groupe commutatif de type fini est de type fini.
Exercice 4.2.1 1
1) Démontrer que si un groupe commutatif est de type fini et de torsion, alors il est fini.
2) Démontrer que si un groupe commutatif est de type fini et sans torsion, alors il est libre.
Cette question est plus délicate. On pourra procéder par récurrence sur le nombre de générateurs.
SOLUTIONS
4. 2. 1 1) Tout élément x d'un groupe fini de cardinal n vérifie .x'' = e, et est donc d'ordre fini
(diviseur de n). Cela étant, il existe des groupes infinis dont tous les éléments sont d'ordre
fini; c'est le cas du groupe additif de toutes les suites à valeurs dans Z/2, dont tous les
éléments sont d'ordre 2. Nous l'avons rencontré dans l'exercice 1.1.8.
2) Les trois premiers groupes sont sans torsion, ils ne contiennent aucun élément d'ordre fini
à part O. Les éléments d'ordre fini de li* sont 1 et -1. Il est mixte, de même que (C*,
dont les éléments d'ordre fini sont les complexes qui sont racines de l'unité. On note leur
ensemble:
lU 00 = {z E C/ :ln E N*, t' = 1}
Le dernier groupe est mixte, les éléments de la forme (0, a) sont d'ordre fini, tous les autres
sont d'ordre infini.
4.2.2 1) Si nx = 0, my = 0, où n et m sont des entiers, alors mn(x + y) = 0 et m(-x) =
-mx = O. L'ensemble T des éléments d'ordre fini est donc un sous-groupe; si cl> est un
endomorphisme de G, ncp (x) = cp(nx) = O. C'est donc un sous-groupe (pleinement) caractéristique. En revanche, si G n'est pas commutatif, le produit de deux éléments d'ordre fini
n'est pas forcément d'ordre fini. Un exemple géométrique est bien connu, celui de deux
réflexions par rapport à des droites faisant entre elles un angle non commensurable à 'TT,
car le composé est alors une rotation d'ordre infini. Si l'ensemble des éléments d'ordre fini
est un groupe, il est caractéristique.
2) Soit g un élément du quotient G/T. Alors g est d'ordre fini ssi il existe k E N* tel que
kg = 0, donc kg E T; mais dire que kg est d'ordre fini implique que g est d'ordre fini,
g = e. Cela prouve que le groupe de torsion du quotient est trivial.
3) Regardons maintenant les exemples:
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