4 • Groupes commuta tifs
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soit X un ensemble (de générateurs), on note L a b(X) le groupe EB x ex Z x où les Z x sont des
copies de Z. Les éléments de ce groupe sont donc des familles d'entiers relatifs (a x ) xex
nuls sauf un nombre fini
1
• On conviendra, par abus de notation, de noter x la famille
nulle sauf
où les coefficients sont presque tous nuls. Les éléments de X, considérés comme éléments
de L a b(X), constituent ce qu'on appelle une base de ce groupe.
Exercice 4.2.6
Montrer que le groupe abélien libre engendré par X a la propriété ( dite « universelle ») suivante, si G un groupe commutatif et / une application de X dans G, alors il existe un seul
morphisme J de L a b(X) dans G qui prolonge f.
On se référera à l'exercice 2.2.3.
Exercice 4.2.7
f
X - -----� G
"; /:
.,
; �
/ f
L a b(X)
De façon plus générale, un sous-ensemble Y d'un groupe libre G est une base ssi tout élément
g s'écrit de façon unique g = I: yE Y � y Y où les �Y sont presqu� tous nuls.
1) Montrer que si G est libre et de type fini, alors toutes les bases ont un nombre fini d'éléments.
2) Montrer, de plus, qu'elles ont le même cardinal ; on pourra utiliser le quotient G / pG où p
est un nombre premier. Ce cardinal s'appelle le rang du groupe abélien libre.
Nous allons maintenant obtenir pour les groupes commutatifs de type fini un théorème de
décomposition analogue au cas fini. Mais il faut commencer par étudier comment les notions de torsion, type fini, liberté se combinent. Et pour pouvoir faire des raisonnements
par récurrence, commençons par étudier un certain type de suite exacte.
Exercice 4.2.8
Soit une suite exacte :
o----N�G�L---+-e
où N, G et L sont commutatifs, et où L est libre. Démontrer que cette suite est scindée. En
déduire qu'un sous-groupe N d'un groupe commutatif est facteur direct dès que le quotient
G /N est libre.
1. On dit alors souvent qu'ils sont presque tous nuls.
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soit X un ensemble (de générateurs), on note L a b(X) le groupe EB x ex Z x où les Z x sont des
copies de Z. Les éléments de ce groupe sont donc des familles d'entiers relatifs (a x ) xex
nuls sauf un nombre fini
1
• On conviendra, par abus de notation, de noter x la famille
nulle sauf
où les coefficients sont presque tous nuls. Les éléments de X, considérés comme éléments
de L a b(X), constituent ce qu'on appelle une base de ce groupe.
Exercice 4.2.6
Montrer que le groupe abélien libre engendré par X a la propriété ( dite « universelle ») suivante, si G un groupe commutatif et / une application de X dans G, alors il existe un seul
morphisme J de L a b(X) dans G qui prolonge f.
On se référera à l'exercice 2.2.3.
Exercice 4.2.7
f
X - -----� G
"; /:
.,
; �
/ f
L a b(X)
De façon plus générale, un sous-ensemble Y d'un groupe libre G est une base ssi tout élément
g s'écrit de façon unique g = I: yE Y � y Y où les �Y sont presqu� tous nuls.
1) Montrer que si G est libre et de type fini, alors toutes les bases ont un nombre fini d'éléments.
2) Montrer, de plus, qu'elles ont le même cardinal ; on pourra utiliser le quotient G / pG où p
est un nombre premier. Ce cardinal s'appelle le rang du groupe abélien libre.
Nous allons maintenant obtenir pour les groupes commutatifs de type fini un théorème de
décomposition analogue au cas fini. Mais il faut commencer par étudier comment les notions de torsion, type fini, liberté se combinent. Et pour pouvoir faire des raisonnements
par récurrence, commençons par étudier un certain type de suite exacte.
Exercice 4.2.8
Soit une suite exacte :
o----N�G�L---+-e
où N, G et L sont commutatifs, et où L est libre. Démontrer que cette suite est scindée. En
déduire qu'un sous-groupe N d'un groupe commutatif est facteur direct dès que le quotient
G /N est libre.
1. On dit alors souvent qu'ils sont presque tous nuls.
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