122
Théorie des groupes
Exercice 4.2.1
1) Un groupe est sans torsion s'il n'a aucun élément d'ordre fini, à part le neutre. Il est de
torsion si tous ses éléments sont d'ordre fini. Montrer qu'un groupe fini est de torsion;
donner un exemple de groupe infini qui est de torsion.
2) Un groupe qui contient à la fois des éléments d'ordre fini et des éléments d'ordre infini est
un groupe mixte. Parmi les groupes suivants, reconnaître dans laquelle des trois catégories
il faut les ranger :
(Z , +) , ((Q) , +) , (lî , +) , (lî*, x) , (C* , x) , (Z x Z/5, +)
Exercice 4.2.2
Si G est un groupe commutatif, on appelle sous-groupe de torsion de G l'ensemble des
éléments d'ordre fini. On le note T.
1) Montrer que c'est un sous-groupe normal et même un sous-groupe caractéristique de G.
2) Montrer que le groupe quotient G /T est sans torsion.
3) Déterminer les sous-groupes de torsion des groupes de l'exercice précédent, ainsi que les
quotients. Dans le cas de C*, on montrera que le groupe de torsion, noté llJ00 est isomorphe
au quotient Q/Z (muni de l'addition).
Exercice 4.2.3
Soit G abélien. Si p est premier, on note Gfp ] (p-torsion) l'ensemble des éléments dont l'ordre
est une puissance de p. Montrer que c'est un sous-groupe de G, et que le sous-groupe de
torsion de G est somme directe des Gfp ]. Étudier l'exemple de llJ 00 •
Parmi les groupes infinis, nous allons nous limiter maintenant aux groupes de type fini,
c'est-à-dire aux groupes engendrés par un nombre fini d'éléments. Bien sûr, les groupes
finis entrent aussi dans cette catégorie.
Exercice 4.2.4
1) Soit G = Z/n, x Z/n2 x ... x Z/n k x Z x ... x Z. Vérifier que Gest engendré par un
nombre fini d'éléments.
2) Parmi les groupes commutatifs suivants, lesquels sont de type fini :
(Z , + ), ((Q) , + ), (llJ p oo, X ), (llJ 00 , X )
Exercice 4.2.5
Démontrer que si G est de type fini et s'il est engendré par un ensemble S, alors il existe un
sous-ensemble fini de S qui engendre G ; autrement dit, de tout ensemble générateur on peut
extraire un sous-ensemble générateur fini.
Que peut-on appeler groupe abélien libre ? Il s'agit comme pour les groupes libres, du
plus grand groupe abélien engendré par un ensemble X d'éléments. Pour être plus précis,
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Exercice 4.2.1
1) Un groupe est sans torsion s'il n'a aucun élément d'ordre fini, à part le neutre. Il est de
torsion si tous ses éléments sont d'ordre fini. Montrer qu'un groupe fini est de torsion;
donner un exemple de groupe infini qui est de torsion.
2) Un groupe qui contient à la fois des éléments d'ordre fini et des éléments d'ordre infini est
un groupe mixte. Parmi les groupes suivants, reconnaître dans laquelle des trois catégories
il faut les ranger :
(Z , +) , ((Q) , +) , (lî , +) , (lî*, x) , (C* , x) , (Z x Z/5, +)
Exercice 4.2.2
Si G est un groupe commutatif, on appelle sous-groupe de torsion de G l'ensemble des
éléments d'ordre fini. On le note T.
1) Montrer que c'est un sous-groupe normal et même un sous-groupe caractéristique de G.
2) Montrer que le groupe quotient G /T est sans torsion.
3) Déterminer les sous-groupes de torsion des groupes de l'exercice précédent, ainsi que les
quotients. Dans le cas de C*, on montrera que le groupe de torsion, noté llJ00 est isomorphe
au quotient Q/Z (muni de l'addition).
Exercice 4.2.3
Soit G abélien. Si p est premier, on note Gfp ] (p-torsion) l'ensemble des éléments dont l'ordre
est une puissance de p. Montrer que c'est un sous-groupe de G, et que le sous-groupe de
torsion de G est somme directe des Gfp ]. Étudier l'exemple de llJ 00 •
Parmi les groupes infinis, nous allons nous limiter maintenant aux groupes de type fini,
c'est-à-dire aux groupes engendrés par un nombre fini d'éléments. Bien sûr, les groupes
finis entrent aussi dans cette catégorie.
Exercice 4.2.4
1) Soit G = Z/n, x Z/n2 x ... x Z/n k x Z x ... x Z. Vérifier que Gest engendré par un
nombre fini d'éléments.
2) Parmi les groupes commutatifs suivants, lesquels sont de type fini :
(Z , + ), ((Q) , + ), (llJ p oo, X ), (llJ 00 , X )
Exercice 4.2.5
Démontrer que si G est de type fini et s'il est engendré par un ensemble S, alors il existe un
sous-ensemble fini de S qui engendre G ; autrement dit, de tout ensemble générateur on peut
extraire un sous-ensemble générateur fini.
Que peut-on appeler groupe abélien libre ? Il s'agit comme pour les groupes libres, du
plus grand groupe abélien engendré par un ensemble X d'éléments. Pour être plus précis,
www.bibliomath.com