4 • Groupes commutatifs
121
4. 1.12 Il y a autant de groupes commutatifs que de listes de diviseurs élémentaires qui
sont ici de la forme µ i ; le produit des µ
i
devant être égal à p" , il y a autant de groupes
commutatifs d'ordre p" que de façons d'écrire n comme somme d'entiers non nuls ; c'est le
nombre des partitions de n, déjà rencontré dans l'exercice 2.4.4 et noté p(n). Cela donne, pour
les premières valeurs, de n les résultats suivants :
Va leur de n 2 3 4 5
6
7
8
9 10
p(n)
2 3 5 7 11
15 22 30 42
Même si ce nombre augmente rapidement, il y a, notamment dans le cas p = 2, beaucoup
plus de groupes non commutatifs.
Le nombre 2 160 s'écrit 2 160 = 2
4
3
3
5 et les suites de facteurs invariants possibles sont au
nombre de p(4)p(3) = 15.
4.1.13 Commençons par le cas où G = Z/n. Tout morphisme de G dans C* est déterminé
par l'image(l) du générateur de G. Cette image doit vérifier (1)
11
= 1 et est donc une
racine n-ième de l'unité, et toute racine n-ième de l'unité convient. De plus, si
et
iJ,(1) = c,/' où w est une racine primitive n-ième de l'unité, alors :
(iJ,)( 1) = 00
k 00
k ' = 00
k+k '
montre qu'il y a isomorphisme entre G muni de la loi produit et le groupe Z/n.
Pour le cas général d'un groupe fini, commençons par montrer que :
A>ZB�ÂxB
Il suffit d'établir une bijection entre ces deux ensembles :
( , iJ,) - où(x, y) = q>(x)iJ,(y)
- (, iJ,) où q>(x) = 'l'(x, 0), iJ,(y) = '11(0, y)
On peut également écrire cette bijection à l'aide des projections p, et P2 et des inclusions
définies par i 1 (x) = (x, 0) et i 2 (y) = (0, y). Il est alors immédiat que notre correspondance est
bien une bijection et que c'est un morphisme.
En utilisant le fait que tout groupe commutatif fini est produit de groupes cycliques, on obtient
l'isomorphisme entre G et G si G est abélien fini. Le résultat ne subsiste pas si G est infini.
Ainsi Z est isomorphe à (C* , x ).
4.2 GROUPES COMMUTATIFS DE TYPE FINI
Nous allons maintenant généraliser certains des résultats précédents à un type particulier
de groupes infinis. Mais auparavant, intéressons-nous à l'ensemble des éléments d'ordre
fini d'un groupe commutatif.
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4. 1.12 Il y a autant de groupes commutatifs que de listes de diviseurs élémentaires qui
sont ici de la forme µ i ; le produit des µ
i
devant être égal à p" , il y a autant de groupes
commutatifs d'ordre p" que de façons d'écrire n comme somme d'entiers non nuls ; c'est le
nombre des partitions de n, déjà rencontré dans l'exercice 2.4.4 et noté p(n). Cela donne, pour
les premières valeurs, de n les résultats suivants :
Va leur de n 2 3 4 5
6
7
8
9 10
p(n)
2 3 5 7 11
15 22 30 42
Même si ce nombre augmente rapidement, il y a, notamment dans le cas p = 2, beaucoup
plus de groupes non commutatifs.
Le nombre 2 160 s'écrit 2 160 = 2
4
3
3
5 et les suites de facteurs invariants possibles sont au
nombre de p(4)p(3) = 15.
4.1.13 Commençons par le cas où G = Z/n. Tout morphisme de G dans C* est déterminé
par l'image
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= 1 et est donc une
racine n-ième de l'unité, et toute racine n-ième de l'unité convient. De plus, si
et
iJ,(1) = c,/' où w est une racine primitive n-ième de l'unité, alors :
(iJ,)( 1) = 00
k 00
k ' = 00
k+k '
montre qu'il y a isomorphisme entre G muni de la loi produit et le groupe Z/n.
Pour le cas général d'un groupe fini, commençons par montrer que :
A>ZB�ÂxB
Il suffit d'établir une bijection entre ces deux ensembles :
( , iJ,) - où
- (, iJ,) où q>(x) = 'l'(x, 0), iJ,(y) = '11(0, y)
On peut également écrire cette bijection à l'aide des projections p, et P2 et des inclusions
définies par i 1 (x) = (x, 0) et i 2 (y) = (0, y). Il est alors immédiat que notre correspondance est
bien une bijection et que c'est un morphisme.
En utilisant le fait que tout groupe commutatif fini est produit de groupes cycliques, on obtient
l'isomorphisme entre G et G si G est abélien fini. Le résultat ne subsiste pas si G est infini.
Ainsi Z est isomorphe à (C* , x ).
4.2 GROUPES COMMUTATIFS DE TYPE FINI
Nous allons maintenant généraliser certains des résultats précédents à un type particulier
de groupes infinis. Mais auparavant, intéressons-nous à l'ensemble des éléments d'ordre
fini d'un groupe commutatif.
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