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Théorie des groupes
en utilisant la formule du binôme et la congruence rappelée ci-dessus. On a également :
(1 + p' f
lll+l
= 1 + kp
m+2
(mod p
m+3 )
en uti lisant les trois premiers termes de la formule du binôme, d'où
(1 + pf'"
1
"t 1 (mod p
111+3
)
car k n'est pas divisible par p. Remarquons que cet argument suppose p > 2 pour qu'i l y
ait suffisamment de termes dans la formule du binôme.
4) On en déduit que la classe de 1 + p est d'ordre p
111
- 1 dans G µ 111 · Or, l'ordre de G µ 111 est
p
111 - 1 (p - 1), nombre d'entie rs in féri eurs àp
1
1
1
qui sont premiers avec lui. Reste à trouver
un élément d'ordre p - 1. Pour cela, utilisons le morphisme d'anneau de Z/p" dans Z/p
défini par :
X + p"'ll, 1-+ X + p'll,
Ce morphisme est bien défini car p"Z c p'll,. Il est surjectif , et l'i mage réci proque d'un
générateur du groupe cyclique des in versi bles de Z/p sera d'ordre (multipli cati f) multip le
de p - 1. Dans le groupe cyclique qu'i l engendre, il y a un élément d'ordre p - 1.
Conclusio n. On dispose d'un élément d'ordre p - 1, d'un élément p + 1 d'ordre p
111
- 1 ;
comme ces ordres sont premiers entre eux, le produit sera d'ordre p
111 - p
111
- 1 qui est le
cardin al de G µ 111 .
5) Dans le c a sp = 2, G 2 111 est d'ordre 2
111
- 1 . Pour trouver un élément d'ordre 2
1
1
1
- 1 , 1+2 = 3 ne
convie nt pas toujours, par exemple 3 est d'ordre 2 dans Gs
1
• Au contrair e, on va montrer
que 5 est d'ordre 2
111
-
2
dans G 2 111 (en lai ssant de côté les cas simples m = 1 et m = 2. On
a en effet 5
2
= 1 (mod 2
3
) et 5 "t 1 (mod 2
3
), ce qui amorce la récurrence. Ensuite, on
voit que :
5
2
111
- 2 = (1 + 4)
2
111
- 2
= 1 + 2
111
(mod 2
111+ 1 )
et cette congruence donne 5
2
111
- 2
= 1 (mod 2
1
1
1
), mai s aussi, en l'appliq uant au rang précédent, 5
2
111
-
3
"t (mod 2
11 1 ). Le groupe engendré par 5 est donc cyclique d'ordre 2
111
-
2
, celui
engendré par -1 bien sûr d'ordre 2. Véri fions que ces deux groupes sont d'i ntersection
réduite à 1. En effet, 5
k
= -1 (mod 2
111
) est im possible car 5 = 1 (mod 4) d'où contradiction en élevant à la puissance k. Il y a donc produit direct de deux groupes cycliques
et
G 2 111 '=!! Z/2 X Z/2
111
-
2
avec les exceptio ns de m = 1 et m = 2.
4. 1. 11 Raisonnons par l'absurde. Soit x d'ordre maxi mum m, et g qui ne vérifie pas mg = O.
Alors, si n est l'ordre de g, on a 1 < n < m et si µ est le ppcm de n et m, il est stri ctement
plus grand que m puisque m ne divise pas n. Or, on peut écrire ce ppcm comme produit
dd' de deux diviseurs de n et de m premiers entre eux; il suffit d'utiliser la décomposition
en facteurs premiers et de construir e d en prenant les facteurs premiers dont l'exposant est
maxi mum dans n, d' avec ceux de m. Un multiple de g sera d'ordre d, un multiple de x sera
d'ordre d' , et comme la loi est commutativ e, dd' sera d'ordre µ, ce qui est absurde. Si G est
fini non abéli en, ce résultat est faux, il suffit de prendre l'exemple de S 3 •
1. Le lecteur est cependant invité à vérifier que 3 convient presque toujours ...
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Théorie des groupes
en utilisant la formule du binôme et la congruence rappelée ci-dessus. On a également :
(1 + p' f
lll+l
= 1 + kp
m+2
(mod p
m+3 )
en uti lisant les trois premiers termes de la formule du binôme, d'où
(1 + pf'"
1
"t 1 (mod p
111+3
)
car k n'est pas divisible par p. Remarquons que cet argument suppose p > 2 pour qu'i l y
ait suffisamment de termes dans la formule du binôme.
4) On en déduit que la classe de 1 + p est d'ordre p
111
- 1 dans G µ 111 · Or, l'ordre de G µ 111 est
p
111 - 1 (p - 1), nombre d'entie rs in féri eurs àp
1
1
1
qui sont premiers avec lui. Reste à trouver
un élément d'ordre p - 1. Pour cela, utilisons le morphisme d'anneau de Z/p" dans Z/p
défini par :
X + p"'ll, 1-+ X + p'll,
Ce morphisme est bien défini car p"Z c p'll,. Il est surjectif , et l'i mage réci proque d'un
générateur du groupe cyclique des in versi bles de Z/p sera d'ordre (multipli cati f) multip le
de p - 1. Dans le groupe cyclique qu'i l engendre, il y a un élément d'ordre p - 1.
Conclusio n. On dispose d'un élément d'ordre p - 1, d'un élément p + 1 d'ordre p
111
- 1 ;
comme ces ordres sont premiers entre eux, le produit sera d'ordre p
111 - p
111
- 1 qui est le
cardin al de G µ 111 .
5) Dans le c a sp = 2, G 2 111 est d'ordre 2
111
- 1 . Pour trouver un élément d'ordre 2
1
1
1
- 1 , 1+2 = 3 ne
convie nt pas toujours, par exemple 3 est d'ordre 2 dans Gs
1
• Au contrair e, on va montrer
que 5 est d'ordre 2
111
-
2
dans G 2 111 (en lai ssant de côté les cas simples m = 1 et m = 2. On
a en effet 5
2
= 1 (mod 2
3
) et 5 "t 1 (mod 2
3
), ce qui amorce la récurrence. Ensuite, on
voit que :
5
2
111
- 2 = (1 + 4)
2
111
- 2
= 1 + 2
111
(mod 2
111+ 1 )
et cette congruence donne 5
2
111
- 2
= 1 (mod 2
1
1
1
), mai s aussi, en l'appliq uant au rang précédent, 5
2
111
-
3
"t (mod 2
11 1 ). Le groupe engendré par 5 est donc cyclique d'ordre 2
111
-
2
, celui
engendré par -1 bien sûr d'ordre 2. Véri fions que ces deux groupes sont d'i ntersection
réduite à 1. En effet, 5
k
= -1 (mod 2
111
) est im possible car 5 = 1 (mod 4) d'où contradiction en élevant à la puissance k. Il y a donc produit direct de deux groupes cycliques
et
G 2 111 '=!! Z/2 X Z/2
111
-
2
avec les exceptio ns de m = 1 et m = 2.
4. 1. 11 Raisonnons par l'absurde. Soit x d'ordre maxi mum m, et g qui ne vérifie pas mg = O.
Alors, si n est l'ordre de g, on a 1 < n < m et si µ est le ppcm de n et m, il est stri ctement
plus grand que m puisque m ne divise pas n. Or, on peut écrire ce ppcm comme produit
dd' de deux diviseurs de n et de m premiers entre eux; il suffit d'utiliser la décomposition
en facteurs premiers et de construir e d en prenant les facteurs premiers dont l'exposant est
maxi mum dans n, d' avec ceux de m. Un multiple de g sera d'ordre d, un multiple de x sera
d'ordre d' , et comme la loi est commutativ e, dd' sera d'ordre µ, ce qui est absurde. Si G est
fini non abéli en, ce résultat est faux, il suffit de prendre l'exemple de S 3 •
1. Le lecteur est cependant invité à vérifier que 3 convient presque toujours ...
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