4 • Groupes commutatifs
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4.1.9 On sait que les inversibles de l'anneau Z/n sont les classes des entiers premiers à n.
Cela résulte immédiatement de l'identité de Bezout, et le cardinal du groupe (multiplicatif)
des inversibles est (n) où représente l'indicateur d'Euler (l.l. 10). On obtient donc les
cardinaux suivants, en notant G,, le groupe des inversibles de l'anneau Z/n:
l 1 �, , 1 Il î 1 ; 1 � 1 � 1 � 1 � 1 ! 1 � l 1 � 1 �� l 1 � 1
Laissons les cas de cardinal 2 où sont inversibles 1 et -1 seulement ; on trouve que G 5 , G 7 ,
G9 , G 10 et G 11 sont cycliques, engendrés respectivement par 2, 3, 2, 3, 2. Par exemple :
G9 ={l, 2, 2
2
=4, 2
3
=8, 2
4
=7, 2
5
=5}
En revanche, G 8 et G 12 sont isomorphes à Z/2 x Z/2, tous leurs éléments différents de 1
sont d'ordre 2.
Sin = pf ' p�
2 ••• p�k est la décomposition primaire de n, alors l'anneau Z/n est isomorphe au
produit des anneaux Z/pf;; on dispose déjà de l'isomorphisme de groupe, les autres vérifications sont immédiates. De même, on montre rapidement que le groupe des inversibles d'un
anneau produit est le produit des groupes d'inversibles de chaque facteur. Ainsi, le groupe des
inversibles de Z/45 sera isomorphe au groupe G 5 x G9 soit Z/4 x Z/6 qui a pour facteurs
invariants 2, 2
2
, 3 et diviseurs élémentaires 2 et 12.
4.1 .10 1) Les calculs sont un peu longs à conduire; on a vu dans l'exercice précédent que
2 était générateur de G 5 . On constate qu'il est également générateur de G2 5 , qui est de
cardinal 20. Il suffit pour cela de vérifier que 2
10
= -1 (mod 25), ce qui est immédiat. On
constate de même que G 125 est encore cyclique, d'ordre 100, et engendré par 2. On a en
effet:
2
10
= -1 + 25k donc 2
50
= (- 1 + 25k)
5
= -1 (mod 125)
et l'on peut en déduire que 2 est d'ordre 100 dans G 125 • On a utilisé une propriété de
congruence des coefficients binomiaux : si p est premier, alors
Vk E { 1, 2, ... , p - 1}, c; = 0 (mod p)
propriété qui est immédiate avec le théorème de Gauss, en écrivant :
k!(p - k) !c; = p!
2) D'après l'exercice 1.1.12, tout sous-groupe fini d'un corps commutatif est cyclique; et
c'est bien le cas de G p , puisque l'anneau Z/p est un corps, ses éléments non nuls sont des
classes de nombres premiers à p et sont inversibles.
3) Raisonnons par récurrence ; pour m = 0, on a bien
1 +p = 1 (mod p) et 1 +p � 1 (mod p
2
)
L'hypothèse de récurrence peut s'écrire:
3k EN, (1 + p)P
111 = 1 + kp
m+ t
avec k non divisible par p. On en déduit :
m+l
(
"')p
1
2
(1 +p'f = (1 +p'f
= (1 +k p
"'+
Y'= 1 (mod p"i + )
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