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Théorie des groupes
4.1. 7 L' unicité des diviseurs élémentaires résulte de la remarque suivante. Si G se décompose en produit direct de groupes cycliques, alors Gfp] est le produit de facteurs de la forme
Z/p
i
. On utilise ensuite l'unicité de la décomposition d'un p-groupe vue dans l'exercice précédent.
L'existence des facteurs invariants s'obtient par la méthode explicitée dans l'exercice 4. 1 .2, si
p 1 , p 2 , .•. , Pk est la liste des nombres premiers qui interviennent dans les diviseurs élémentaires, on construit d e comme produit des p; aux exposants les plus élevés, puis d e - i de la
même façon. Le nombre des facteurs invariants est donc le maximum du nombre des groupes
apparaissant dans une des p;-composantes.
L'unicité des facteurs invariants peut s'obtenir ainsi ; on suppose que
G = H 1 x H 2 x ... x He = K 1 x K2 x ... x K k
où H; est cyclique d'ordre d;, K; cyclique d'ordre df, avec de plus d; 1 d; +1 et df I df +i · Il suffit
alors de considérer Gfp] qui, d'après l'exercice 4.1 .4, est le produit de groupes isomorphes à
Z/p
a;
(resp. Z/p
a
i), les suites ex; et cxf étant croissantes. L' unicité de la décomposition d'un pgroupe prouve donc que ces deux suites sont identiques, d'où l'unicité de la suite des facteurs
invariants.
4.1 .8 Le théorème se démontre en utilisant le morphisme
H x K --+ H/ A --+ K/B
(h, k)
1-+
hA X kB
qui est surjectif et dont le noyau est le produit A x B ; on applique alors le premier théorème
d'isomorphisme.
Pour G 1 , il suffit d'écrire :
G 1 = (Ze1 EB Ze 2)/(Z2e1 EB Z3e 2 ) ':! Z/2 EB Z/3
en appliquant le théorème. Les diviseurs élémentaires sont 2 et 3, et le facteur invariant est 6.
Pour G 2 , commençons par remarquer, qu'il n'a que huit éléments, on constate que
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)
sont dans des classes distinctes ; de plus, tout couple d'entiers est dans une de ces classes.
Pour se ramener à une seconde coordonnée dans {O, ... , 3}, on utilise un multiple de (3, 4),
puis un multiple de (2,0) pour la première coordonnée. Enfin, la classe de (0, 1) est d'ordre
huit, ce qui prouve que
G 2 ':! Z/8
Nous verrons une méthode plus géométrique dans le problème en fin de chapitre.
Pour G 3 , enfin, on pourrait procéder comme ci-dessus, mais observons que :
et :
d'où le quotient :
G 2 ':! Z/2 EB Z/4
les diviseurs élémentaires et les facteurs invariants coïncident et valent 2, 4.
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Théorie des groupes
4.1. 7 L' unicité des diviseurs élémentaires résulte de la remarque suivante. Si G se décompose en produit direct de groupes cycliques, alors Gfp] est le produit de facteurs de la forme
Z/p
i
. On utilise ensuite l'unicité de la décomposition d'un p-groupe vue dans l'exercice précédent.
L'existence des facteurs invariants s'obtient par la méthode explicitée dans l'exercice 4. 1 .2, si
p 1 , p 2 , .•. , Pk est la liste des nombres premiers qui interviennent dans les diviseurs élémentaires, on construit d e comme produit des p; aux exposants les plus élevés, puis d e - i de la
même façon. Le nombre des facteurs invariants est donc le maximum du nombre des groupes
apparaissant dans une des p;-composantes.
L'unicité des facteurs invariants peut s'obtenir ainsi ; on suppose que
G = H 1 x H 2 x ... x He = K 1 x K2 x ... x K k
où H; est cyclique d'ordre d;, K; cyclique d'ordre df, avec de plus d; 1 d; +1 et df I df +i · Il suffit
alors de considérer Gfp] qui, d'après l'exercice 4.1 .4, est le produit de groupes isomorphes à
Z/p
a;
(resp. Z/p
a
i), les suites ex; et cxf étant croissantes. L' unicité de la décomposition d'un pgroupe prouve donc que ces deux suites sont identiques, d'où l'unicité de la suite des facteurs
invariants.
4.1 .8 Le théorème se démontre en utilisant le morphisme
(h, k)
1-+
hA X kB
qui est surjectif et dont le noyau est le produit A x B ; on applique alors le premier théorème
d'isomorphisme.
Pour G 1 , il suffit d'écrire :
G 1 = (Ze1 EB Ze 2)/(Z2e1 EB Z3e 2 ) ':! Z/2 EB Z/3
en appliquant le théorème. Les diviseurs élémentaires sont 2 et 3, et le facteur invariant est 6.
Pour G 2 , commençons par remarquer, qu'il n'a que huit éléments, on constate que
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)
sont dans des classes distinctes ; de plus, tout couple d'entiers est dans une de ces classes.
Pour se ramener à une seconde coordonnée dans {O, ... , 3}, on utilise un multiple de (3, 4),
puis un multiple de (2,0) pour la première coordonnée. Enfin, la classe de (0, 1) est d'ordre
huit, ce qui prouve que
G 2 ':! Z/8
Nous verrons une méthode plus géométrique dans le problème en fin de chapitre.
Pour G 3 , enfin, on pourrait procéder comme ci-dessus, mais observons que :
et :
d'où le quotient :
G 2 ':! Z/2 EB Z/4
les diviseurs élémentaires et les facteurs invariants coïncident et valent 2, 4.
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