4 • Groupes commutatifs
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puissance d'un nombre premier, aucun sous-groupe non trivial n'admet de supplémentaire.
Seuls les groupes cycliques primaires sont indécomposables en une somme directe.
4.1 .6 1)
a) Si px � H + (g) , alors px serait d'ordre plus petit que l'ordre de x, contredisant la
définition de x.
b) On sait que p
"'
x = 0, puisque G est un p-groupe avec un élément d'ordre maximal
p
"'
. De px = h + ag , on déduit O = p
"'
x = p
"'
-
1
h + ap
111 - 1
g, d'où
ap
111 - 1
g EH n (g) = {O}
comme l'ordre de g est p
'"
, p divise a.
c) On a donc px = h + pbg. Alors x - bg vérifie:
p(x - bg) EH,
x-bg � H
La deuxième affirmation venant de ce que x n'est pas dans H + (g) . Mais alors, par
définition de H, le groupe engendré par H et x - bg doit rencontrer (g) en un élément
non nul. Il existe des entiers k et q, et un élément h' de H tels que:
kg = q(x - bg)+h ' ,'O
et l'on a alors qx EH+ (g) .
Montrons que p ne divise pas q. Sinon, comme p(x - bg) E H, on aurait également
q(x - bg) E H et kg serait à la fois dans H et dans (g) et serait donc nul. Maintenant,
à partir des nombres premiers entre eux p et q, on peut construire une relation de
Bezout pp' + qq' = 1 et (pp' + qq')x = x E H + (g), c'est la contradiction.
2) On peut donc écrire :
G = (g) EB H
et (g) est un sous-groupe d'ordre bien défini p
11 1 , ordre maximal d'un élément de G. Le
sous-groupe H est lui-même un p-groupe, auquel on peut faire subir le même traitement.
Comme G est fini, le processus engagé s'arrête, et l'on a obtenu une décomposition de G
en un nombre fini de groupes cycliques d'ordres p";.
3) Raisonnons par récurrence sur le cardinal de G. Si I GI = p, pas de problème. On fait
l'hypothèse de l'unicité pour tout p- groupe de cardinal inférieur à I GI, et l'on suppose
que
G = H 1 EB H2 EB ... EB H k = K 1 EB K2 EB ... EB Ke
où les H; (resp. les K; ) sont cycliques d'ordre p
0 ; (resp. p
b
;). Pour obtenir un groupe de
cardinal plus petit, utilisons la multiplication par p. pG est un sous-groupe de G et
pG 'i:t pH, EB pH2 EB ... EB pH k 'i:t pK, EB pK2 EB ... EB pKe
en utilisant les propriétés des sommes directes. Par ailleurs, pZ/p
0 'i:t Z/p"1
• En appliquant l'hypothèse de récurrence, on en déduit l'égalité deux à deux des a; et des b; en se
limitant aux a; ,' 1 et aux b; ,' 1. Mais ces cas exclus correspondent à des facteurs de
la forme Z/p; on montre qu'il y en a autant dans chaque décomposition en utilisant le
cardinal G.
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puissance d'un nombre premier, aucun sous-groupe non trivial n'admet de supplémentaire.
Seuls les groupes cycliques primaires sont indécomposables en une somme directe.
4.1 .6 1)
a) Si px � H + (g) , alors px serait d'ordre plus petit que l'ordre de x, contredisant la
définition de x.
b) On sait que p
"'
x = 0, puisque G est un p-groupe avec un élément d'ordre maximal
p
"'
. De px = h + ag , on déduit O = p
"'
x = p
"'
-
1
h + ap
111 - 1
g, d'où
ap
111 - 1
g EH n (g) = {O}
comme l'ordre de g est p
'"
, p divise a.
c) On a donc px = h + pbg. Alors x - bg vérifie:
p(x - bg) EH,
x-bg � H
La deuxième affirmation venant de ce que x n'est pas dans H + (g) . Mais alors, par
définition de H, le groupe engendré par H et x - bg doit rencontrer (g) en un élément
non nul. Il existe des entiers k et q, et un élément h' de H tels que:
kg = q(x - bg)+h ' ,'O
et l'on a alors qx EH+ (g) .
Montrons que p ne divise pas q. Sinon, comme p(x - bg) E H, on aurait également
q(x - bg) E H et kg serait à la fois dans H et dans (g) et serait donc nul. Maintenant,
à partir des nombres premiers entre eux p et q, on peut construire une relation de
Bezout pp' + qq' = 1 et (pp' + qq')x = x E H + (g), c'est la contradiction.
2) On peut donc écrire :
G = (g) EB H
et (g) est un sous-groupe d'ordre bien défini p
11 1 , ordre maximal d'un élément de G. Le
sous-groupe H est lui-même un p-groupe, auquel on peut faire subir le même traitement.
Comme G est fini, le processus engagé s'arrête, et l'on a obtenu une décomposition de G
en un nombre fini de groupes cycliques d'ordres p";.
3) Raisonnons par récurrence sur le cardinal de G. Si I GI = p, pas de problème. On fait
l'hypothèse de l'unicité pour tout p- groupe de cardinal inférieur à I GI, et l'on suppose
que
G = H 1 EB H2 EB ... EB H k = K 1 EB K2 EB ... EB Ke
où les H; (resp. les K; ) sont cycliques d'ordre p
0 ; (resp. p
b
;). Pour obtenir un groupe de
cardinal plus petit, utilisons la multiplication par p. pG est un sous-groupe de G et
pG 'i:t pH, EB pH2 EB ... EB pH k 'i:t pK, EB pK2 EB ... EB pKe
en utilisant les propriétés des sommes directes. Par ailleurs, pZ/p
0 'i:t Z/p"1
• En appliquant l'hypothèse de récurrence, on en déduit l'égalité deux à deux des a; et des b; en se
limitant aux a; ,' 1 et aux b; ,' 1. Mais ces cas exclus correspondent à des facteurs de
la forme Z/p; on montre qu'il y en a autant dans chaque décomposition en utilisant le
cardinal G.
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