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Théorie des groupes
est bien une décomposition du type souhaité, puisque m;x est annulé par pf; , et donc aussi
u;m;x. On peut remarquer que les composants de cette écriture sont des multiples de x.
Reste à montrer que la somme est directe, c'est-à-dire que cette décomposition est unique.
Il suffit, par linéarité, de montrer que :
Ü = Xt + .X 2 + ... + Xk ::::} Xt = X 2 = ... = Xk = Ü
dès lors que x; E Gfp;] pour tout i. Avec les notations précédentes, on écrit :
m; x O = 0 = m;xi + m;x2 + ... + m;xk = m;x;
Mais, par définition, x; est d'ordre une puissance de p;, et m; est premier à p;, donc x; doit
être nul. Lorsque G est fini de cardinal n, tout élément a pour ordre un diviseur de n, on
peut donc se limiter aux p; diviseurs premiers de n et dire que G est isomorphe à la somme
directe des Gfp;].
4.1.4 1) Si x= (x;);EI E G, p"x = (p"x;);EI · Si donc x E Gfp], alors X; E G;fp] pour tout i.
Réciproquement, si x= (x;);EI est tel que x; E G;fp] pour tout i, alors chaque x; a un ordre
de la forme p
a
;. Comme la somme est finie, on voit que x est annulé par p
sup(a;)
, et l'on a
bien l'égalité d'ensemble indiquée. Cet argument ne fonctionne pas si I est infini, et l'on
construit facilement un contre-exemple avec :
G= II Z//
iEIII*
2) Supposons n = p"-m où p f m. Tout repose sur l'étude des sous-groupes d'un groupe
cyclique. L' ordre d'un élément x est un diviseur d de n, et x est dans le groupe engendré
par la classe de �- Les éléments d'ordre une puissance de p sont donc exactement les
éléments du sous-groupe engendré par m, et ce sous-groupe est isomorphe à Z / p
a.
. Si p ne
divise pas n, (Z/n) fp] = {O}. On peut donc écrire :
k
Z/n 9t E9 Z/pf
i
si
i= I
C'est bien sûr la décomposition de Z/n donnée habituellement par le théorème chinois.
3) Il suffit de dire que pour un groupe commutatif, il n'y a qu'un seul p-Sylow ; les p-Sylow
sont tous conjugués, c'est-à-dire tous égaux ... Tout élément du p-Sylow est d'ordre une
puissance de p, et tout élément d'ordre une puissance de p est dans l'unique p-Sylow
(puisqu'en général un élément d'ordre p est dans un p-Sylow).
4.1.5 1) C'est le second théorème d'isomorphisme qui s'applique ici, dans le cas particulier
où HK = G et où H n K = { e}, voir 1.2.17. On peut aussi tout redémontrer en partant de
l'application qui, à g, associe h lorsque g = h + k où h E H et k E K.
2) Les sous-groupes de Z sont les nZ. Si n =I O et n =/ 1, le quotient est fini et ne peut être
isomorphe à un mZ. Aucun sous-groupe non trivial de Z n'admet de supplémentaire.
3) On connaît les sous-groupes de Z/n, si d est un diviseur de n, il existe un sous-groupe
d'ordre d, formé des éléments x tels que dx = O. Deux tels sous-groupes d'ordre d et d' ont
une intersection réduite à O ssi d et d' sont premiers entre eux, et ils engendrent Z/n ssi
de plus dd' = n. C'est encore un avatar du théorème chinois ... Ainsi, dans Z/ 12, les sousgroupes (2) et (6) n'ont pas de supplémentaire, mais (3) et (4) en ont. Dans le cas où n est
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est bien une décomposition du type souhaité, puisque m;x est annulé par pf; , et donc aussi
u;m;x. On peut remarquer que les composants de cette écriture sont des multiples de x.
Reste à montrer que la somme est directe, c'est-à-dire que cette décomposition est unique.
Il suffit, par linéarité, de montrer que :
Ü = Xt + .X 2 + ... + Xk ::::} Xt = X 2 = ... = Xk = Ü
dès lors que x; E Gfp;] pour tout i. Avec les notations précédentes, on écrit :
m; x O = 0 = m;xi + m;x2 + ... + m;xk = m;x;
Mais, par définition, x; est d'ordre une puissance de p;, et m; est premier à p;, donc x; doit
être nul. Lorsque G est fini de cardinal n, tout élément a pour ordre un diviseur de n, on
peut donc se limiter aux p; diviseurs premiers de n et dire que G est isomorphe à la somme
directe des Gfp;].
4.1.4 1) Si x= (x;);EI E G, p"x = (p"x;);EI · Si donc x E Gfp], alors X; E G;fp] pour tout i.
Réciproquement, si x= (x;);EI est tel que x; E G;fp] pour tout i, alors chaque x; a un ordre
de la forme p
a
;. Comme la somme est finie, on voit que x est annulé par p
sup(a;)
, et l'on a
bien l'égalité d'ensemble indiquée. Cet argument ne fonctionne pas si I est infini, et l'on
construit facilement un contre-exemple avec :
G= II Z//
iEIII*
2) Supposons n = p"-m où p f m. Tout repose sur l'étude des sous-groupes d'un groupe
cyclique. L' ordre d'un élément x est un diviseur d de n, et x est dans le groupe engendré
par la classe de �- Les éléments d'ordre une puissance de p sont donc exactement les
éléments du sous-groupe engendré par m, et ce sous-groupe est isomorphe à Z / p
a.
. Si p ne
divise pas n, (Z/n) fp] = {O}. On peut donc écrire :
k
Z/n 9t E9 Z/pf
i
si
i= I
C'est bien sûr la décomposition de Z/n donnée habituellement par le théorème chinois.
3) Il suffit de dire que pour un groupe commutatif, il n'y a qu'un seul p-Sylow ; les p-Sylow
sont tous conjugués, c'est-à-dire tous égaux ... Tout élément du p-Sylow est d'ordre une
puissance de p, et tout élément d'ordre une puissance de p est dans l'unique p-Sylow
(puisqu'en général un élément d'ordre p est dans un p-Sylow).
4.1.5 1) C'est le second théorème d'isomorphisme qui s'applique ici, dans le cas particulier
où HK = G et où H n K = { e}, voir 1.2.17. On peut aussi tout redémontrer en partant de
l'application qui, à g, associe h lorsque g = h + k où h E H et k E K.
2) Les sous-groupes de Z sont les nZ. Si n =I O et n =/ 1, le quotient est fini et ne peut être
isomorphe à un mZ. Aucun sous-groupe non trivial de Z n'admet de supplémentaire.
3) On connaît les sous-groupes de Z/n, si d est un diviseur de n, il existe un sous-groupe
d'ordre d, formé des éléments x tels que dx = O. Deux tels sous-groupes d'ordre d et d' ont
une intersection réduite à O ssi d et d' sont premiers entre eux, et ils engendrent Z/n ssi
de plus dd' = n. C'est encore un avatar du théorème chinois ... Ainsi, dans Z/ 12, les sousgroupes (2) et (6) n'ont pas de supplémentaire, mais (3) et (4) en ont. Dans le cas où n est
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