4 • Groupes commutatifs
SOLUTIONS
4.1 .1 Dans un premier temps, on peut décomposer G :
G = Z/2 x (Z/4 x Z/3) x (Z/3 x Z/5)
et en déduire une écriture plus économique :
G = (Z/2 x Z/3) x (Z/3 x Z/4 x Z/5) = Z/6 x Z/60
115
Bien sûr, on peut procéder autrement, et par exemple on trouve directement que G = Z/12 x
Z/30.
Ce produit peut être engendré par deux éléments, par exemple (1, 0) et (0, 1). Cherchons de
quels éléments ils proviennent par les isomorphismes ci-dessus
(1,0) +- ((1, 1),(0,0,0)) +- (1,(0, 1),(0,0)) +- (1,4,0)
(0, 1) t- ((0,0),(1, 1, 1)) +- (0,(1 ,0),(1, 1)) +- (0,9, 1)
Une explication, le 9 par exemple est un antécédent de (1, 0) dans Z/4 x Z/3 ':t Z/12 car il
est congru à 1 modulo 4 et divisible par 3. Il y a bien sûr plusieurs solutions, ne serait-ce que
parce que G contient plusieurs sous-groupes isomorphes à Z/3.
4. 1.2 1) Décomposons les nombres 12, 36, 15, 20 en facteurs premiers,
12 = 2
2 X 3, 36 = 2
2 X 3
2 , 15 = 3 X 5, 20 = 2
2 X 5
et donc le théorème chinois permet de décomposer Z/12 en Z/2
2
x Z/3 etc. soit:
G ':t Z/2
2 X Z/2
2 X Z/2
2 X Z/3 X Z/3 X Z/3
2 X Z/5 X Z/5
Pour le moment, on ne sait pas s'il y a unicité (à l'ordre des facteurs près) de cette décomposition en groupes cycliques primaires. Ce sera fait dans un prochain exercice.
2) D'après le théorème chinois, les d; vont être de la forme 2
a
;3
b
;5
c
;, avec des exposants
pouvant être nuls, et pris dans la liste ci-dessus. De plus, la relation d;ld; +1 implique a; :,;;
a; +1 , b; :,;; b; +1 et c; :,;; c; + I · Il suffit de ranger les exposants dans un tableau,
1
G : D
les colonnes correspondant aux facteurs premiers 2, 3, 5. On lit les facteurs d; sur chaque
ligne en commençant par le bas d 1 = 2
2
x3 = 12, d 2 = 2
2
x3x5 = 60, d 3 = 2
2
x3
2
x5 = 180
et donc
G ':t Z/12 x Z/60 x Z/180
4.1 .3 1) Si p"x = 0 et p
111
y = 0 alors p
su
p ( m,
11>
(x - y) = 0, donc G[p ] est un sous-groupe de G.
2) Montrons qu'un élément x d'ordre m où m = pf
1
p;
2 ••• p? est somme d'éléments d'ordre
une puissance d'un premier. Il suffit d'utiliser une relation de Bezout:
où m; est le quotient de m par pfi ; (il est immédiat que les m; sont premiers entre eux).
Alors
1. C'est un exemple de tableau de Young, voir [20].
www.bibliomath.com
SOLUTIONS
4.1 .1 Dans un premier temps, on peut décomposer G :
G = Z/2 x (Z/4 x Z/3) x (Z/3 x Z/5)
et en déduire une écriture plus économique :
G = (Z/2 x Z/3) x (Z/3 x Z/4 x Z/5) = Z/6 x Z/60
115
Bien sûr, on peut procéder autrement, et par exemple on trouve directement que G = Z/12 x
Z/30.
Ce produit peut être engendré par deux éléments, par exemple (1, 0) et (0, 1). Cherchons de
quels éléments ils proviennent par les isomorphismes ci-dessus
(1,0) +- ((1, 1),(0,0,0)) +- (1,(0, 1),(0,0)) +- (1,4,0)
(0, 1) t- ((0,0),(1, 1, 1)) +- (0,(1 ,0),(1, 1)) +- (0,9, 1)
Une explication, le 9 par exemple est un antécédent de (1, 0) dans Z/4 x Z/3 ':t Z/12 car il
est congru à 1 modulo 4 et divisible par 3. Il y a bien sûr plusieurs solutions, ne serait-ce que
parce que G contient plusieurs sous-groupes isomorphes à Z/3.
4. 1.2 1) Décomposons les nombres 12, 36, 15, 20 en facteurs premiers,
12 = 2
2 X 3, 36 = 2
2 X 3
2 , 15 = 3 X 5, 20 = 2
2 X 5
et donc le théorème chinois permet de décomposer Z/12 en Z/2
2
x Z/3 etc. soit:
G ':t Z/2
2 X Z/2
2 X Z/2
2 X Z/3 X Z/3 X Z/3
2 X Z/5 X Z/5
Pour le moment, on ne sait pas s'il y a unicité (à l'ordre des facteurs près) de cette décomposition en groupes cycliques primaires. Ce sera fait dans un prochain exercice.
2) D'après le théorème chinois, les d; vont être de la forme 2
a
;3
b
;5
c
;, avec des exposants
pouvant être nuls, et pris dans la liste ci-dessus. De plus, la relation d;ld; +1 implique a; :,;;
a; +1 , b; :,;; b; +1 et c; :,;; c; + I · Il suffit de ranger les exposants dans un tableau,
1
G : D
les colonnes correspondant aux facteurs premiers 2, 3, 5. On lit les facteurs d; sur chaque
ligne en commençant par le bas d 1 = 2
2
x3 = 12, d 2 = 2
2
x3x5 = 60, d 3 = 2
2
x3
2
x5 = 180
et donc
G ':t Z/12 x Z/60 x Z/180
4.1 .3 1) Si p"x = 0 et p
111
y = 0 alors p
su
p ( m,
11>
(x - y) = 0, donc G[p ] est un sous-groupe de G.
2) Montrons qu'un élément x d'ordre m où m = pf
1
p;
2 ••• p? est somme d'éléments d'ordre
une puissance d'un premier. Il suffit d'utiliser une relation de Bezout:
où m; est le quotient de m par pfi ; (il est immédiat que les m; sont premiers entre eux).
Alors
1. C'est un exemple de tableau de Young, voir [20].
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