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G 3 ='Il}/ (2e1 + 2e2 , 2e 1 + 6e2)
où (e 1 , e 2 ) représente la base canonique de 'Z } .
On pourra commencer par démontrer le (petit) théorème :
fil A�K�B�a�ŒA xB�KxH�
(K x H)/(A x B) '2:t (K/A) x (H/B)
Théorie des groupes
Une autre façon d'obtenir des groupes commutatifs finis est de partir d'un anneau fini et
d'étudier le groupe de ses éléments inversibles.
Exercice 4.1.9
Déterminer le groupe des inversibles des anneaux Z/n pour n = 1 ... 12 ; comment déduire le
groupe des inversibles de l'anneau Z/n de ses composantes primaires ? En déduire le groupe
des inversibles de l'anneau Z/45.
Pour sortir de ces cas particuliers, il est nécessaire d'étudier le groupe des inversibles de
l'anneau Z / p
a
. Et il s'avère que l'on doit distinguer le cas où p = 2 des autres.
Exercice 4. 1.1 0
Dans cet exercice, nous noterons G,, le groupe des inversibles de l'anneau Z/n.
1) Montrer que le groupe des inversibles des anneaux z;s a est cyclique, pour a = 1, 2, 3 ...
En préciser un générateur.
2) Rappeler pourquoi G p est cyclique. (cf 1.1.12).
3) On revient au cas général, où p est un premier différent de 2. Démontrer les congruences :
(1 + pf"' = 1 (mod p
"'+ 1
) et (1 + pf
"'
f=. 1 (mod p
"'+2
)
4) En déduire que le groupe des inversibles de Z/p
"'
est cyclique, lorsque p =/ 2. On pourra
chercher l'ordre de 1 + p et montrer qu'il existe des éléments d'ordre p - 1.
5) Examiner le cas ou p = 2 ; on pourra étudier l'ordre de 5 et montrer que G 2 111 est engendré
par 5 et par -1.
Exercice 4.1 .11
Soit G un groupe abélien fini et m l'ordre maximum d'un élément de G. Montrer que tout
élément g de G vérifie mg = O. Et si G est fini non abélien ?
Exercice 4. 1 .12
Quel est le nombre des groupes commutatifs d'ordre p" ? Quel est le nombre des groupes
commutatifs d'ordre 2 160?
Exercice 4. 1.13
Soit G un groupe abélien fini. On note G l'ensemble des morphismes de G dans CC* (muni de
sa structure multiplicative). Démontrer que G est un groupe isomorphe à G.
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