4 • Groupes commutatifs
113
Exercice 4.1.5
Dans cette question, le groupe G n'est pas nécessairement commutatif.
1) Montrer que si H
3) Si G = Z/n, chercher les sous-groupes de G qui ont un supplémentaire.
Passons aux deux exercices fondamentaux qui expliquent comment se décomposent les
p-groupes commutatifs finis, puis les groupes commutatifs finis quelconques.
Exercice 4.1.6
1) Soit G un p-groupe abélien, et g un élément de G d'ordre maximal p
"'
. On veut montrer
que (g) admet un supplémentaire. Soit H un sous-groupe de G maximal parmi ceux pour
lesquels H n (g) = {O}. On raisonne par l'absurde, en supposant que G =I H + (g). Soit x
pris d'ordre minimal parmi les éléments de G \ (H + (g)).
a) En utilisant la définition de x, montrer que px E H + (g).
b) On peut donc écrire px = h+ag où h EH et a E Z. Montrer que a est divisible par p.
c) En déduire qu'on peut trouver q entier non divisible par p tel que qx E H + (g) et
aboutir à une contradiction.
2) Montrer qu'un p-groupe abélien fini se décompose comme somme directe de termes de la
forme Z / p
111 • On procédera par récurrence.
3) Montrer que la suite des n; est unique (à l'ordre près).
Exercice 4.1.7 (Facteurs invariants, diviseurs élémentaires)
Les exercices qui précèdent montrent que tout groupe abélien fini peut s'écrire :
G '2!t (Z/pf 1 E9 ... E9 Z/pf 1 ) E9 ... E9 Z/p;k
Cette suite de puissances de nombres premiers est unique (à l'ordre près). On les appelle
diviseurs élémentaires de G. Démontrer que G s'écrit également de façon unique:
G '2!t Z/d1 E9 ... E9 Z/de
où les d; sont des entiers tels que d; jd; +1 pour tout i. Ce sont les facteurs invariants.
D'une certaine façon, les groupes commutatifs finis sont analogues aux nombres entiers qui se décomposent en facteurs premiers ; mais la situation est plus compliquée, les
groupes de base sont non seulement les Z/p mais aussi les groupes Z/p
a
. Retour à des
exemples concrets pour lesquels nous aboutirons à une décomposition complète.
Exercice 4.1.8
Vo ici quelques quotients finis de Z
11 • En donner les diviseurs élémentaires et les facteurs
invariants.
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Exercice 4.1.5
Dans cette question, le groupe G n'est pas nécessairement commutatif.
1) Montrer que si H
3) Si G = Z/n, chercher les sous-groupes de G qui ont un supplémentaire.
Passons aux deux exercices fondamentaux qui expliquent comment se décomposent les
p-groupes commutatifs finis, puis les groupes commutatifs finis quelconques.
Exercice 4.1.6
1) Soit G un p-groupe abélien, et g un élément de G d'ordre maximal p
"'
. On veut montrer
que (g) admet un supplémentaire. Soit H un sous-groupe de G maximal parmi ceux pour
lesquels H n (g) = {O}. On raisonne par l'absurde, en supposant que G =I H + (g). Soit x
pris d'ordre minimal parmi les éléments de G \ (H + (g)).
a) En utilisant la définition de x, montrer que px E H + (g).
b) On peut donc écrire px = h+ag où h EH et a E Z. Montrer que a est divisible par p.
c) En déduire qu'on peut trouver q entier non divisible par p tel que qx E H + (g) et
aboutir à une contradiction.
2) Montrer qu'un p-groupe abélien fini se décompose comme somme directe de termes de la
forme Z / p
111 • On procédera par récurrence.
3) Montrer que la suite des n; est unique (à l'ordre près).
Exercice 4.1.7 (Facteurs invariants, diviseurs élémentaires)
Les exercices qui précèdent montrent que tout groupe abélien fini peut s'écrire :
G '2!t (Z/pf 1 E9 ... E9 Z/pf 1 ) E9 ... E9 Z/p;k
Cette suite de puissances de nombres premiers est unique (à l'ordre près). On les appelle
diviseurs élémentaires de G. Démontrer que G s'écrit également de façon unique:
G '2!t Z/d1 E9 ... E9 Z/de
où les d; sont des entiers tels que d; jd; +1 pour tout i. Ce sont les facteurs invariants.
D'une certaine façon, les groupes commutatifs finis sont analogues aux nombres entiers qui se décomposent en facteurs premiers ; mais la situation est plus compliquée, les
groupes de base sont non seulement les Z/p mais aussi les groupes Z/p
a
. Retour à des
exemples concrets pour lesquels nous aboutirons à une décomposition complète.
Exercice 4.1.8
Vo ici quelques quotients finis de Z
11 • En donner les diviseurs élémentaires et les facteurs
invariants.
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