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Théorie des groupes
1) Montrer que G est isomorphe au produit de groupes cycliques primaires.
2) Montrer que G peut aussi s'écrire :
G '=f! Z/di X Z/d 2 X ,,, Z/d k
où les entiers d; vérifient :
Les exercices précédents nous ont donné des exemples où des groupes commutatifs finis
sont des produits directs de groupes cycliques. Nous allons maintenant démontrer que
c'est en fait général : tout groupe commutatif fini est isomorphe à un produit direct de
p-groupes cycliques. Et nous obtiendrons, en prime, des propriétés d'unicité. Pour commencer, faisons une convention de notation. On sait que dans le cas d'un ensemble d'indice fini, le produit direct et la somme directe (2. 1.12) de groupes coïncident. Comme les
groupes commutatifs sont notés additivement, on préférera parler de somme plutôt que
de produit, et l'on notera cette somme directe avec le symbole EB utilisé également en algèbre linéaire. L'exercice suivant présente ce qu'on appelle la décomposition primaire.
Exercice 4.1.3
Sol.t G un groupe abélien fini, et p un nombre premier.
1) Démontrer que :
G[p] = {x E G J :ln EN, p"x = O}
est un sous-groupe de G. Ses éléments sont donc ceux qui sont d'ordre une puissance de p.
On dit aussi qu'ils sont annulés par une puissance de p. G[p] s'appelle la p-torsion de G.
2) Démontrer que G est somme directe des G[p], lorsqu'on restreint p à l'ensemble des diviseurs premiers de JGJ. On sera amené à utiliser une relation de Bezout.
Exercice 4.1.4
1) Démontrer que si G = E9 ;EI G;, avec I fini, alors G[p] = E9 ;EI G; [p].
2) Déterminer Z/n[p ].
3) On suppose que G est fini et que p divise le cardinal de G. Montrer que G[p] est l'unique
p-Sylow de G. L'exercice précédent montre donc qu'un groupe commutatif fini est somme
directe de ses p-Sylow.
Il nous faut maintenant étudier la structure des groupes de la forme G[p] lorsque G est
un groupe abélien fini. Commençons par une définition inspirée de l'algèbre linéaire : un
sous-groupe H de G admet un supplémentaire s'il existe K ::;; G tel que G = H EB K.
On dit aussi que H est facteur direct de G.
Rappelons que cela équivaut à
G=H+K et HnK={O}
d'après ce que nous avons appelé le« critère de produit direct », et compte-tenu de ce
que, dans le cas commutatif, tous les sous-groupes sont normaux.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
1) Montrer que G est isomorphe au produit de groupes cycliques primaires.
2) Montrer que G peut aussi s'écrire :
G '=f! Z/di X Z/d 2 X ,,, Z/d k
où les entiers d; vérifient :
Les exercices précédents nous ont donné des exemples où des groupes commutatifs finis
sont des produits directs de groupes cycliques. Nous allons maintenant démontrer que
c'est en fait général : tout groupe commutatif fini est isomorphe à un produit direct de
p-groupes cycliques. Et nous obtiendrons, en prime, des propriétés d'unicité. Pour commencer, faisons une convention de notation. On sait que dans le cas d'un ensemble d'indice fini, le produit direct et la somme directe (2. 1.12) de groupes coïncident. Comme les
groupes commutatifs sont notés additivement, on préférera parler de somme plutôt que
de produit, et l'on notera cette somme directe avec le symbole EB utilisé également en algèbre linéaire. L'exercice suivant présente ce qu'on appelle la décomposition primaire.
Exercice 4.1.3
Sol.t G un groupe abélien fini, et p un nombre premier.
1) Démontrer que :
G[p] = {x E G J :ln EN, p"x = O}
est un sous-groupe de G. Ses éléments sont donc ceux qui sont d'ordre une puissance de p.
On dit aussi qu'ils sont annulés par une puissance de p. G[p] s'appelle la p-torsion de G.
2) Démontrer que G est somme directe des G[p], lorsqu'on restreint p à l'ensemble des diviseurs premiers de JGJ. On sera amené à utiliser une relation de Bezout.
Exercice 4.1.4
1) Démontrer que si G = E9 ;EI G;, avec I fini, alors G[p] = E9 ;EI G; [p].
2) Déterminer Z/n[p ].
3) On suppose que G est fini et que p divise le cardinal de G. Montrer que G[p] est l'unique
p-Sylow de G. L'exercice précédent montre donc qu'un groupe commutatif fini est somme
directe de ses p-Sylow.
Il nous faut maintenant étudier la structure des groupes de la forme G[p] lorsque G est
un groupe abélien fini. Commençons par une définition inspirée de l'algèbre linéaire : un
sous-groupe H de G admet un supplémentaire s'il existe K ::;; G tel que G = H EB K.
On dit aussi que H est facteur direct de G.
Rappelons que cela équivaut à
G=H+K et HnK={O}
d'après ce que nous avons appelé le« critère de produit direct », et compte-tenu de ce
que, dans le cas commutatif, tous les sous-groupes sont normaux.
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