Chapitre 4
Groupes commutatifs
Les groupes commutatifs sont assez agréables ; pour certains d'entre eux, on dispose d'un
théorème de classification. De plus, les « briques » avec lesquelles on peut les construire
sont assez peu variées. Il s'agit de Z, des groupes cycliques, de Q et de quelques autres ...
Cela dit, les groupes commutatifs infinis ne se laissent pas apprivoiser si simplement.
Intéressons-nous d'abord aux groupes commutatifs finis.
4.1 GROUPES COMMUTATIFS FINIS
Les groupes cycliques et leurs produits (directs) sont commutatifs. Commençons par
étudier comment ils peuvent être engendrés.
Exercice 4.1.1
Soit G = Z/2 x Z/ 12 x Z/ 15. Trouver, en utilisant le théorème chinois (cf. 2. 1 .4), un groupe
isomorphe à G qui soit produit direct de deux groupes cycliques seulement. En déduire que
G peut être engendré par deux éléments. On donnera un exemple de tels éléments.
Étudions encore un groupe du même type et profitons-en pour définir ce qu'est un pgroupe cyclique. C'est un groupe cyclique d'ordre l où p est premier et i E N* . On dit
parfois aussi : groupe cyclique primaire.
Exercice 4.1.2
Soit G le groupe
G = Z/ 12 x Z/36 x Z/ 15 x Z/20
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