(5) Pour tout a tel que (a, q) = 1 on a pour x 2 2
M(x;q,a) =
~ ( n ) x 1 / 2 + ~
n
pour tout E > O , la constante implicite ne dépendant que de E .
Rappelons que le logarithme intégral est défini en (1.1).
Démonstration. - L'hypothèse de Riemann implique (2) par la méthode du chapitre
précédent (voir en particulier les Exercices 3.4.4 et 3.4.5 pour l'utilisation de sommes
non lisses) en déplaçant le contour d'intégration jusqu'à a = 1/2 + E. Pour cela, on
utilise d'abord (3.26) et (3.25) pour majorer la dérivée logarithmique des fonctions L
dans la bande critique : il vient
si a 2 1/2 + E , ou si O < a < 1/2 - E , avec E > O. En particulier, L1/L est à croissance
polynomiale.
On trouve alors précisément
mais le facteur logq peut être éliminé en notant qu'il est inutile si x 2 q et que si
x < q, o n a $(x;q,a) < 1 < x
(La même remarque s'applique pour le point (5) .)
De plus, par (3.25), on voit qu'il existe une constante absolue c > O ayant la
propriété suivante : pour tout X, il existe une suite tn de réels tels que n < tn < n + 1
et tels que
pour tout zéro p = p + iy de L (x, s) . En effet, il y a (à constante multiplicative près)
au plus log q(Jtl + 2) zéros tels que n < /y 1 < n + 1. Utilisant (3.26) de nouveau, on a
la borne « horizontale >>
pour tout n 2 1, O < a < 2, la constante implicite étant absolue (les tn dépendent
de x cependant). Cette majoration permet d'effectuer des déplacements de contour
« à travers la droite critique B.
M(x;q,a) =
~ ( n ) x 1 / 2 + ~
n
pour tout E > O , la constante implicite ne dépendant que de E .
Rappelons que le logarithme intégral est défini en (1.1).
Démonstration. - L'hypothèse de Riemann implique (2) par la méthode du chapitre
précédent (voir en particulier les Exercices 3.4.4 et 3.4.5 pour l'utilisation de sommes
non lisses) en déplaçant le contour d'intégration jusqu'à a = 1/2 + E. Pour cela, on
utilise d'abord (3.26) et (3.25) pour majorer la dérivée logarithmique des fonctions L
dans la bande critique : il vient
si a 2 1/2 + E , ou si O < a < 1/2 - E , avec E > O. En particulier, L1/L est à croissance
polynomiale.
On trouve alors précisément
mais le facteur logq peut être éliminé en notant qu'il est inutile si x 2 q et que si
x < q, o n a $(x;q,a) < 1 < x
(La même remarque s'applique pour le point (5) .)
De plus, par (3.25), on voit qu'il existe une constante absolue c > O ayant la
propriété suivante : pour tout X, il existe une suite tn de réels tels que n < tn < n + 1
et tels que
pour tout zéro p = p + iy de L (x, s) . En effet, il y a (à constante multiplicative près)
au plus log q(Jtl + 2) zéros tels que n < /y 1 < n + 1. Utilisant (3.26) de nouveau, on a
la borne « horizontale >>
pour tout n 2 1, O < a < 2, la constante implicite étant absolue (les tn dépendent
de x cependant). Cette majoration permet d'effectuer des déplacements de contour
« à travers la droite critique B.