CHAPITRE 4
DISCUSSION DU THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
4.1. L'Hypothèse de Riemann Généralisée
On a vu au chapitre précédent comment le raisonnement amenant au théorème
des nombres premiers serait simplifié si l'Hypothèse de Riemann était valide. Pour les
nombres premiers dans les progressions arithmétiques, l'énoncé analogue est 1'Hypothèse de Riemann Généralisée.
Conjecture 4.1.1. - Soit q
1 et x un caractère primitif modulo q. Alors tous les zéros
p = (3 + i y non triviaux de L ( x , s) , cést-à-dire ceux tels que O < (3 < 1 , vhJient P = 1 / 2 .
En voici diverses formes équivalentes liées à la répartition des nombres premiers
dans les progressions arithmétiques.
Proposition 4.1.2. - Les énoncés ci-dessous sont équivalents :
( 1 ) Pour tout x primitifmodulo q, les zéros non triviaux p de L ( x , s ) vhjîent P = 1 / 2 .
( 2 ) Pour tout a tel que ( a , q) = P on a pour x 2
pour tout E > O , la constante implicite ne dépendant que de E .
(3) Pour tout a tel que ( a , q) = 1 on a pour x 2 2
li ( x )
TC ( x ; q, a ) = -
)
pour tout E > O , la constante implicite ne dépendant que de E .
( 4 ) Pour tout caractère primitif non trivial x modulo q, on a pour x 2
pour tout E > O , la constante implicite ne dépendant que de E .