Le passage de (2) à (3) est une sommation/intégration par partie. Pour q = 1 par
exemple, on écrit
et de même pour une progression arithmétique. On passe de (3) à (2) par la même
méthode. Et on retourne à (1) en écrivant pour o > 1 d'abord
=
C x ( 4 C w , ) n - s
a (mod q)
n=a (mod q)
Sous l'hypothèse (2) , chacune des in tegrales converge absolument et représente
une fonction holomorphe pour o > 1/2 à l'exception d'un pôle simple en s = 1
de résidu x (a) y (q) -' . (Par orthogonalité des caractères, la somme de ces résidus est
nulle si x # 1). L'holomorphie de la dérivée logarithmique en dehors de s = 1
démontre bien que L(x, s ) n'a pas de zéro dans o > 1/2, et l'équation fonctionnelle
implique alors que L (x, s) n'a pas de zéro tel que O < o < 1/2.
Le passage de (1) à (4) ou (5) et le retour sont très similaires, mais basés sur les
fonctions inverses
1
(au lieu des dérivées logarithmiques) ; sous l'Hypothèse de Riemann, ce sont des
fonctions holomorphes pour o > 1/2 pour tout caractère x (même x trivial : il y a
alors un zéro en s = 1 ) . Utilisant par exemple la formule de Perron approchée (3.477,
il vient pour T 2 2
Pour estimer l'intégrale on utilise le théorème de Cauchy pour déformer le
contour en le segment parallèle de la droite Re(s) = 1/2 + E, où O < E < 1/2. 11 vient