l'estimation des contributions horizontales ayant été effectuée à l'aide du Lemme 4.1.3
ci-dessous, qui indique l'une des autres conséquences importantes (4.3) de 1'Hypothèse de Riemann (connue également sous le nom d'Hypothèse de Lindelof).
Similairement on a
et en choisissant T = x2 par exemple, ces estimations ensembles donnent (4).
Quand à ( 5 ) , il suffit d'utiliser de nouveau l'orthogonalité des caractères à partir
de (4).
La réciproque provient des formules
= s 2 ~ ( a )
J M (x; q, a)%-'-'dx
L ( ~ , s ) a (modq)
1
qui démontrent que L (x, s) -' est holomorphe dans la région o > 1/2, et donc L (x, s)
ne s'y annule pas, si (4) ou ( 5 ) est vérifiée.
O
Lemme 4.1.3. - Supposons que l'Hypothèse de Riemann Généralisée soit vraie.
(1) On apourtout E > O
pour tout caractère de Dirichlet primitif x modulo q 2 1 et tout t E R, la constante implicite
ne dépendant que de E et de 6 pour la seconde inégalité.
(2) On a pour tout 6 > O et E > O
pour tout caractère de Dirichlet primitif x rnodulo q 2 1 et tout t E R, la constante implicite
ne dépendant que de E .
Démonstration. - D'après le principe de Phragmen-Lindelof, le point (2) implique le
point (1) en faisant 6 + O. L'idée pour (4.4) est que l'hypothèse de Riemann permet
de travailler avec le logarithme des fonctions L, plutôt qu'avec les fonctions L ellesmêmes. On va en fait obtenir un résultat plus précis.
On peut supposer x primitif; pour simplifier quelque peu la présentation, on
supposera de plus x non trivial. Soit s = o + it tel que o 2 1/2 + 6, O < 6 < 1/2. Pour
y 1, paramètre à fixer ultérieurement, on considère la somme lisse
où q est un majorant lisse de [O, 11. On va déplacer la droite d'intégration jusqu'à la
droite Re(w) = 1/4 - o < O. Noter qu'alors l'argument s + w << passe » par la droite
ci-dessous, qui indique l'une des autres conséquences importantes (4.3) de 1'Hypothèse de Riemann (connue également sous le nom d'Hypothèse de Lindelof).
Similairement on a
et en choisissant T = x2 par exemple, ces estimations ensembles donnent (4).
Quand à ( 5 ) , il suffit d'utiliser de nouveau l'orthogonalité des caractères à partir
de (4).
La réciproque provient des formules
= s 2 ~ ( a )
J M (x; q, a)%-'-'dx
L ( ~ , s ) a (modq)
1
qui démontrent que L (x, s) -' est holomorphe dans la région o > 1/2, et donc L (x, s)
ne s'y annule pas, si (4) ou ( 5 ) est vérifiée.
O
Lemme 4.1.3. - Supposons que l'Hypothèse de Riemann Généralisée soit vraie.
(1) On apourtout E > O
pour tout caractère de Dirichlet primitif x modulo q 2 1 et tout t E R, la constante implicite
ne dépendant que de E et de 6 pour la seconde inégalité.
(2) On a pour tout 6 > O et E > O
pour tout caractère de Dirichlet primitif x rnodulo q 2 1 et tout t E R, la constante implicite
ne dépendant que de E .
Démonstration. - D'après le principe de Phragmen-Lindelof, le point (2) implique le
point (1) en faisant 6 + O. L'idée pour (4.4) est que l'hypothèse de Riemann permet
de travailler avec le logarithme des fonctions L, plutôt qu'avec les fonctions L ellesmêmes. On va en fait obtenir un résultat plus précis.
On peut supposer x primitif; pour simplifier quelque peu la présentation, on
supposera de plus x non trivial. Soit s = o + it tel que o 2 1/2 + 6, O < 6 < 1/2. Pour
y 1, paramètre à fixer ultérieurement, on considère la somme lisse
où q est un majorant lisse de [O, 11. On va déplacer la droite d'intégration jusqu'à la
droite Re(w) = 1/4 - o < O. Noter qu'alors l'argument s + w << passe » par la droite