4.1. L'HYPOTHÈSE DE RIEMANN GÉNÉRALISÉE
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critique, de sorte que pour justifier ce déplacement, il faut faire appel à (4.2) et à la
suite d'ordonnées tn considérés pour ceci.
Les singularités rencontrées lors du déplacement sont un pôle simple de ?j(w) en
w = O, de résidu 7 (O), et des pôles simples de -Lf/L(x, s + w ) en w = p - s, où p est
un zéro non trivial de L (x, s) . Il vient donc
On majore individuellement maintenant les trois termes. Pour le premier on a
que l'on traite en repassant sous forme intégrale
et en déplaçant le contour cette fois jusqu'à la droite Re (w) = 3/4 - o > O seulement,
passant par un unique pôle en w = 1 - s, ce qui donne par estimation directe du
résidu
la constante implicite ne dépendant que de y. (Sur Re (s + w ) = 3/4, la fonction [
est bornée à l'aide de (4.1), ce qui donne une contribution inférieure).
La série sur les zéros p de L(x, s) est aisée à traiter grâce à la décroissance rapide
de ?j(w) sur la droite Re(w) = 1/2 - o : par exemple
(en utilisant encore (3.25)), la constante implicite ne dépendant que de y.
Enfin, sur Re(w) = 1/4 - o, on applique (4.1) et par la décroissance rapide de
A
~ ( w )
encore, il vient
la constante implicite ne dépendant que de 7.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004